Решим дифференциальное уравнение: \(y'=\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\)
Решение:
Определение: однородные дифференциальные уравнения могут быть представлены в виде \(y' = f(\frac{y}{x})\) или \(M(x,y)dy + N(x,y)dy = 0\), где \(M(x,y)\) и \(NM(x,y)\) - однородные функции равных степеней. Для решения этих однородных дифференциальных уравнений применяется замена \(y = ux => dy = udx + xdu\) в результате получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Решаем уравнение: $$y'=\frac{y}{x}+\frac{x}{y} =>$$это однородное дифференциальное уравнение первой степени вида \(y' = f(\frac{y}{x})\) для его решения применяем замену \(y= ux => y' = u'x+u\), получаем $$ u'x+u = \frac{ux}{x} + \frac{x}{ux} => u'x+u = u + \frac{1}{u} => u'x = \frac{1}{u}$$ получили однородное дифференциальное уравнение уравнение первой степени с разделяющимися переменными, решим его $$ \frac{du}{dx}x = \frac{1}{u} => udu = \frac{dx}{x}$$ интегрируем обе части уравнения $$\int udu = \int \frac{1}{x}dx => \frac{u^2}{2} = \ln(x) + \ln(C) => $$ Примени обратную замену \(y = ux => u = \frac{y}{x}\), получаем $$ (\frac{y}{x})^2 = 2\ln(xC) => y = \pm x\sqrt{2\ln(xC)} $$
Ответ: \(y = \pm x\sqrt{2\ln(xC)} \)
