Решение: рассмотрим дифференциальное уравнение $$ y'=(2y+1)*ctg(x), y(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2} $$ это неоднородное линейное уравнение первого порядка, решать которое будем методом вариации независимой переменной.
Схема решения неоднородного линейного уравнения первого порядка. $$y'=(2y+1)*ctg(x) => y'=2y*ctg(x)+ctg(x)$$
1. Решаем однородное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $$y'=2y*ctg(x) => \frac{dy}{dx} = 2y*ctg(x) => \frac{dy}{y} = 2*ctg(x)dx =>$$ проинтегрируем обе части уравнения $$ \int \frac{dy}{y} = 2\int ctg(x)dx => \ln(y) = 2\ln(\sin(x))+\ln(C) => $$$$ y = C\sin^2(x) \quad (1)$$
2. Представляем \(C = C(x)\).
Подставляем решение в дифференциальное уравнение и находим \(C(x)\)
находим производную $$y' = (C(x)\sin^2(x))' = C'(x)\sin^2(x) + 2C(x)\sin(x)\cos(x) $$ подставляем в дифференциальное уравнение $$ y'= (2y+1)*ctg(x) => y'=2y*ctg(x)+ctg(x) $$ получаем $$ C'(x)\sin^2(x) + 2C(x)\sin(x)\cos(x) =2C(x)\sin^2(x)*ctg(x)+ctg(x) => $$ $$ C'(x)\sin^2(x) + 2C(x)\sin(x)\cos(x) =2C(x)\sin(x)*\cos(x)+ctg(x) =>$$ если все подстановки сделаны правильно, то член с \( C(x) \) сокращается и мы должны получить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, смотрим $$ C'(x)\sin^2(x) =ctg(x) => dC(x) =\frac{ctg(x)}{\sin^2(x)}dx => $$ интегрируем обе части уравнения $$ \int dC(x) = \int \frac{ctg(x)}{\sin^2(x)}dx => C(x) = -\frac{1}{2\sin^2(x)} + C_1$$
3. Получаем общее решение дифференциального уравнения, подставляем в (1)
$$ y = C(x)\sin^2(x) = (-\frac{1}{2\sin^2(x)} + C_1)\sin^2(x) =>$$$$ y = C_1\sin^2(x) -\frac{1}{2} $$
4. Найдем уравнение, удовлетворяющее начальному условию \(y(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}\)
Подставим значения в ответ и найдем константу \(C_1\) $$ \frac{1}{2} = C_1\sin^2(\frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2} => $$$$ C_1\sin^2( \frac{\pi}{4}) = 1 => C_1=2$$
Ответ: \( y = 2\sin^2(x) -\frac{1}{2} \)
