Решим дифференциальное уравнение: \((2\sqrt{xy}-y)dx+xdy=0\)
Решение: однородные дифференциальные уравнения могут быть представлены в виде \(y' = f(\frac{y}{x})\) или \(M(x,y)dy + N(x,y)dy = 0\), где \(M(x,y)\) и \(NM(x,y)\) - однородные функции одной и той же степени. Для решения этих однородных дифференциальных уравнений применяется замена \(y = ux => dy = udx + xdu\) в результате получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Решаем уравнение: $$(2\sqrt{xy}-y)dx+xdy=0 => y' = \frac{y}{x} - 2\sqrt{\frac{y}{x}}$$ применяем замену \(y= ux => y' = u'x+u\), получаем $$ u'x+u = \frac{ux}{x} - 2\sqrt{\frac{ux}{x}} => u'x+u = u - 2\sqrt{u} => u'x = - 2\sqrt{u}$$ получили уравнение с разделяющимися переменными, решим его $$ \frac{du}{dx}x = - 2\sqrt{u} => \frac{du}{\sqrt{u}} = -2\frac{dx}{x}$$ интегрируем обе части уравнения $$\int \frac{du}{\sqrt{u}} = -2\int \frac{1}{x}dx => 2\sqrt{u} = -2\ln(x) + \ln(C) => $$$$ \sqrt{u} = -\ln(x) + \ln(C_1) => u = (\ln(C_1) -\ln(x))^2 => u = (\ln(\frac{C_1}{x}))^2$$ Примени обратную замену \(y = ux => u = \frac{y}{x}\), получаем $$ \frac{y}{x} = \ln^2(\frac{C_1}{x})=> y = x\ln^2(\frac{C_1}{x})$$
Ответ: \(y = x\ln^2(\frac{C_1}{x})\)
