Решим дифференциальное уравнение: \(dy+y*tgx*dx=0\)
Решение: уравнение вида $$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$ называется уравнением с разделяющимися переменными (линейное однородное уравнение). Решается методом переноса в разные части уравнения переменных (разделяем переменные), т.е. получаем уравнение $$ \frac{dy}{f(x)} = f(x)dx$$
Уравнение в задании является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные уравнения $$ dy+y*tgx*dx=0 =>dy = -y*tgx*dx => $$ переносим все члены с переменной \( y \) в одну часть уравнения, а с \(x \) в другую. Нужно помнить, что при делении возможно появление особых решений (например знаменатель равен 0), которые нужно проверять отдельно. Получим $$ \frac{dy}{y} = -tgx*dx =>$$ интегрируем правую и левую части уравнения $$ \int \frac{dy}{y} = -\int tgx*dx => \quad (1)$$
Найдем каждый интеграл:
первый интеграл \(\int \frac{dy}{y} = \ln(x)\) - табличный интеграл,
второй интеграл \( \int tgx*dx = \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}dx = \) будем находить методом замены переменной. Пусть \(\cos(x) = t => -\sin(x)dx = dt\). Подставляем замену \(\int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}dx = -\int \frac{1}{t}dt = -\ln(t) = \) применяем обратную замену \(t = \cos(x)\), получаем \( = -\ln(\cos(x))\)
Подставляем решения в (1) $$ \int \frac{dy}{y} = -\int tgx*dx => \int \frac{dy}{y} = -\int tgx*dx =>$$$$\ln(y) = \ln(\cos(x)) +\ln(C) =>y = C*\cos(x)$$
Ответ: \(y = C*\cos(x)\)
