Решим дифференциальное уравнение: \(y'=\sin^3x\)
Решение: уравнение вида $$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$ называется уравнением с разделяющимися переменными (линейное однородное уравнение). Решается методом переноса в разные части уравнения переменных (разделяем переменные), т.е. получаем уравнение $$ \frac{dy}{f(x)} = f(x)dx$$
Уравнение в задании является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные уравнения $$ y'= \sin^3x => \frac{dy}{dx} = \sin^3x => $$ переносим все члены с переменной \( y \) в одну часть уравнения, а с \(x \) в другую. Нужно помнить, что при делении возможно появление особых решений (например знаменатель равен 0), которые нужно проверять отдельно. Получим $$ dy = \sin^3xdx =>$$ интегрируем правую и левую части уравнения $$ \int dy = \int \sin^3xdx => y = \sin^3xdx => $$ Найдем интеграл методом понижения степени подынтегрального выражения \( \sin^3(x) = \sin(x)\sin^2(x) = \sin(x)(1 - \cos^2(x))\), подставляем $$y = \int \sin(x)(1 - \cos^2(x))dx = \int \sin(x)dx - \int \sin(x)\cos^2(x)dx = \quad (1)$$
первый интеграл \(\int\sin(x)dx = -\cos(x)\) - табличный интеграл,
второй интеграл \(\int \sin(x)\cos^2(x)dx \) будем находить методом замены переменной. Пусть \(\cos(x) = t => -\sin(x)dx = dt\). Подставляем замену \(\int \sin(x)\cos^2(x)dx = -\int t^2dt = -\frac{1}{3}t^3 = \) применяем обратную замену \(t = \cos(x)\), получаем \( = -\frac{1}{3}\cos^3(x)\)
Подставляем решения в (1) , получаем $$y = \int \sin(x)dx - \int \sin(x)\cos^2(x)dx = -\cos(x) + \frac{1}{3}\cos^3(x) + C$$
Ответ: \(y = -\cos(x) + \frac{1}{3}\cos^3(x) + C\)
