Решим дифференциальное уравнение: \( \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x+y^3} \)
Решение: предлагаю провести преобразования, для упрощения решения $$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x+y^3} => \frac{dx}{dy}=\frac{x+y^3}{y} => \frac{dx}{dy}=\frac{x}{y} + y^2 \quad (1)$$ получили уравнение - линейное неоднородное дифференциальное уравнение, только функции x(y).
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения будем искать методом вариации независимой переменной (метод Лагранжа)
1. найдем решение однородного линейного дифференциального уравнения \( x_{од}\):
рассмотрим и решим однородное линейное дифференциальное уравнение $$ \frac{dx}{dy}=\frac{x}{y} =>$$ решать его будем методом разделения независимых переменных, т.е. x - в одну сторону, y - в другую $$ \frac{dx}{x}=\frac{dy}{y} =>$$ интегрируем обе части уравнения $$ \int \frac{dx}{x}= \int \frac{dy}{y} + \ln(C) => \ln(x)= \ln(y) + \ln(C) => x = yC$$ Получили решение линейного однородного дифференциального уравнения $$x_{од}(y) = yC$$
2. методом вариации независимой переменной найдем общее решение дифференциального уравнения:
общее решение неоднородного уравнения будем искать методом вариации произвольной постоянной, т.е. постоянную \(C\) представляем в виде функций \(C(y) \), получим общее решение $$ x(y) = yC(y) \quad (2) $$ Общее решение решение дифференциального уравнения подставим в дифференциальное уравнение и найдем \(C(y)\). Предварительно найдем производную \(x'(y) = \frac{dx}{dy} = (yC(y))'_y = C(y) + yC'(y)\). Подставляем в (1) $$\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y} + y^2 => C(y) + yC'(y) = \frac{yC(y)}{y} + y^2 =>$$$$C(y) + yC'(y) = C(y) + y^2 => C'(y) = y$$ интегрируем обе части уравнения $$\int dC(y) = \int ydy + C_1=> C(y) = \frac{y^2}{2} + C_1 $$ Подставляем, полученное значение функции произвольной постоянной C(y) в (2), получаем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения $$x = y(\frac{y^2}{2} + C_1) => \frac{x}{y} - \frac{y^2}{2} = C_1$$
Ответ: линейное неоднородное дифференциальное уравнение \( \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x+y^3} \) имеет общее решение \( \frac{x}{y} - \frac{y^2}{2} = C_1 \)
