Решим дифференциальное уравнение: \(tg(y)dx-ctg(x)dy=0\)
Решение: уравнение вида $$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$ называется уравнением с разделяющимися переменными. Решается методом переноса в разные части уравнения переменных (разделяем переменные), т.е. получаем уравнение $$ \frac{dy}{f(x)} = f(x)dx$$ Уравнение в задании является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные уравнения $$ tg(y)dx-ctg(x)dy=0 => tg(y)dx = ctg(x)dy => $$ переносим все члены с переменной \( y \) в правую часть уравнения, а с \(x \) в левую. Нужно помнить, что при делении возможно появление особых решений (например знаменатель равен 0), которые нужно проверять отдельно. Получим $$ tg(x)dx = ctg(y)dy => \frac{\sin(x)}{\cos(x)}dx = \frac{\cos(y)}{\sin(y)}dy$$ интегрируем правую и левую части уравнения $$ \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}dx = \int \frac{\cos(y)}{\sin(y)}dy + C => $$интегралы будем находить методом замен перемены переменной \(\int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}dx = \) введем замену \(\cos(x) = t => -\sin(x)dx = dt\), получаем \(\int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}dx = - \int \frac{1}{t}dt = -\ln(t) = -\ln(\cos(x))\), аналогично и второй интеграл, получаем $$ -\ln(\cos(x)) =\ln(\sin(y)) + \ln(C) => \ln(\sin(y)\cos(x)C) = 0 => $$$$ \sin(y)\cos(x)C = 1 => $$$$\sin(y) = \frac{1}{\cos(x)C} => y = \arcsin(\frac{1}{\cos(x)C}) = \arcsin(C_1\sec(x)) $$
Ответ: \(y = \arcsin(C_1\sec(x)) \)
