Дано уравнение кривой второго порядка \(64х^2+25у^2+256х−50у-1319=0\)
1. Запишем уравнение кривой в каноническом виде.
В данном уравнении есть только члены второй и первой степени (нет смешанного произведения), поэтому каноническое уравнение будем получать методом выделения полного квадрата.
$$64х^2+25у^2+256х−50у-1319=0 => $$$$ 64(х^2+4х)+25(у^2−2у)-1319=0 =>$$ дополняем члены в скобках до полного квадрата$$ 64(х^2+2*2х+4-4)+25(у^2−2у+1-1)-1319=0 => $$$$ 64((х+2)^2-4)+25((у−1)^2-1)-1319=0 => $$$$ 64(х+2)^2-256+25(у−1)^2-25-1319=0 => $$$$ 64(х+2)^2+25(у−1)^2=1600 =>$$ разделим обе части уравнения на 1600 $$ \frac{(х+2)^2}{25}+\frac{(у−1)^2}{64}=1 =>$$ Получили уравнение эллипса. Каноническое уравнение эллипса $$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$Для того, чтобы привести уравнение к каноническому виду введем новые координаты \(x'=x+2;y'=y-1\), подставляем и получаем каноническое уравнение в новой системе координат, которая смещена относительно базовой системы координат на по оси Ох влево на 2 и по оси Оу вверх на 1, получаем $$\frac{(x')^2}{5^2}+\frac{(y')^2}{8^2} = 1$$
2. Найти координаты фокусов, центра.
Рассмотрим полученное уравнение эллипса. \( \frac{(х+2)^2}{25}+\frac{(у−1)^2}{64}=1 \) из уравнения видно, что координата центра эллипса O(-2;1)
Также из уравнения определим полуоси эллипса \(a=5\) и \(b=8\).
Найдем координаты фокусов. Определим, на какой оси лежит фокальная ось \(F_1F_2\). Т.к. a < b, то фокальная ось лежит на (вдоль) оси Oy, поэтому координаты фокусов будут следующими: \(F_1(0;-c)\) и \(F_2(0;c)\), где \(c=\sqrt{b^2-a^2} => c=\sqrt{64-25}=\sqrt{39}\), т.е. координаты фокусов будут равны \(F_1(0;-\sqrt{39})\) и \(F_2(0;\sqrt{39})\). Это координаты фокусов для эллипса с центром в начале координат, с учетом формулы перехода \(x'=x+2;y'=y-1\) => \(x=x' - 2;y=y'+1\) , получаем координаты фокусов \(F_1(0-2;-\sqrt{39}+1)\) и \(F_2(0-2;\sqrt{39}+1)\) =>
Координаты фокусов \(F_1(-2;-\sqrt{39}+1)\) и \(F_2(-2;\sqrt{39}+1)\)
3.Найти эксцентриситет эллипса.
Эксцентриситет эллипса рассчитывается по формуле \(\epsilon = \frac{c}{b}\) => \(\epsilon = \frac{\sqrt{39}}{8}\)
4. Построить рисунок:
