Дано уравнение кривой второго порядка \(25х^2+16у^2+200х+160у+400=0\)
1. Запишем уравнение кривой в каноническом виде.
В данном уравнении есть только члены второй и первой степени (нет смешанного произведения), поэтому каноническое уравнение будем получать методом выделения полного квадрата.
$$25х^2+16у^2+200х+160у+400=0=> 25(х^2+8х)+16(у^2+10у)+400=0 => $$ дополняем члены в скобках до полного квадрата$$ 25(х^2+2*4х +16-16)+16(у^2+2*5у+25-25)+400=0 => 25((х+4)^2-16)+16((у+5)^2-25)+400=0=> $$$$ 25(х+4)^2-25*16+16(у+5)^2-16*25+400=0=> 25(х+4)^2+16(у+5)^2 =400 =>$$ разделим обе части уравнения на 400$$ \frac{(х+4)^2}{16}+\frac{(у+5)^2}{25} =1 =>$$ Получили уравнение эллипса. Каноническое уравнение эллипса $$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$Получили уравнение эллипса,
Каноническое уравнение эллипса $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$Для того, чтобы привести к указанному виду введем новые координаты \(x'=x+4;y'=y+5\), подставляем и получаем каноническое уравнение в новой системе координат, которая смещена относительно базовой системы координат на по оси Ох влево на 4 и по оси Оу вниз на 5, получаем $$\frac{(x')^2}{4^2}+\frac{(y')^2}{3^2} = 1$$
2. Найти координаты фокусов, центра.
Рассмотрим полученное уравнение эллипса. \( \frac{(х+4)^2}{16}+\frac{(у+5)^2}{25} =1 \) из уравнения видно, что координата центра эллипса O(-4;-5)
Также из уравнения определим полуоси эллипса \(a=4\) и \(b=5\).
Найдем координаты фокусов. Определим, на какой оси лежит фокальная ось \(F_1F_2\). Т.к. a < b, то фокальная ось лежит на (вдоль) оси Oy, поэтому координаты фокусов будут следующими: \(F_1(0;-c)\) и \(F_2(0;c)\), где \(c=\sqrt{a^2-b^2} => c=\sqrt{25-16}=\sqrt{9} = 3\), т.е. координаты фокусов будут равны \(F_1(0;-3)\) и \(F_2(0;3)\). Это координаты фокусов для эллипса с центром в начале координат, с учетом формулы перехода \(x'=x+4;y'=y+5\) => \(x=x' -4;y=y'-5\) , получаем координаты фокусов \(F_1(0-4;-3-5)\) и \(F_2(0-4;3-5)\) =>
Координаты фокусов \(F_1(-4;-8)\) и \(F_2(-4;-2)\)
3.Найти эксцентриситет эллипса.
Эксцентриситет эллипса рассчитывается по формуле \(\epsilon = \frac{c}{b}\) => \(\epsilon = \frac{3}{5}\)
4. Построим рисунок:
