Дано уравнение кривой второго порядка 25х^2+16у^2+200х+160у+400=0
1. Запишем уравнение кривой в каноническом виде.
В данном уравнении есть только члены второй и первой степени (нет смешанного произведения), поэтому каноническое уравнение будем получать методом выделения полного квадрата.
25х^2+16у^2+200х+160у+400=0=> 25(х^2+8х)+16(у^2+10у)+400=0 =>
дополняем члены в скобках до полного квадрата
25(х^2+2*4х +16-16)+16(у^2+2*5у+25-25)+400=0 => 25((х+4)^2-16)+16((у+5)^2-25)+400=0=>
25(х+4)^2-25*16+16(у+5)^2-16*25+400=0=> 25(х+4)^2+16(у+5)^2 =400 =>
разделим обе части уравнения на 400
\frac{(х+4)^2}{16}+\frac{(у+5)^2}{25} =1 =>
Получили уравнение эллипса. Каноническое уравнение эллипса
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
Получили уравнение эллипса,
Каноническое уравнение эллипса
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
Для того, чтобы привести к указанному виду введем новые координаты
x'=x+4;y'=y+5, подставляем и получаем каноническое уравнение в новой системе координат, которая смещена относительно базовой системы координат на по оси Ох влево на 4 и по оси Оу вниз на 5, получаем
\frac{(x')^2}{4^2}+\frac{(y')^2}{3^2} = 1
2. Найти координаты фокусов, центра.
Рассмотрим полученное уравнение эллипса. \frac{(х+4)^2}{16}+\frac{(у+5)^2}{25} =1 из уравнения видно, что координата центра эллипса O(-4;-5)
Также из уравнения определим полуоси эллипса a=4 и b=5.
Найдем координаты фокусов. Определим, на какой оси лежит фокальная ось F_1F_2. Т.к. a < b, то фокальная ось лежит на (вдоль) оси Oy, поэтому координаты фокусов будут следующими: F_1(0;-c) и F_2(0;c), где c=\sqrt{a^2-b^2} => c=\sqrt{25-16}=\sqrt{9} = 3, т.е. координаты фокусов будут равны F_1(0;-3) и F_2(0;3). Это координаты фокусов для эллипса с центром в начале координат, с учетом формулы перехода x'=x+4;y'=y+5 => x=x' -4;y=y'-5 , получаем координаты фокусов F_1(0-4;-3-5) и F_2(0-4;3-5) =>
Координаты фокусов F_1(-4;-8) и F_2(-4;-2)
3.Найти эксцентриситет эллипса.
Эксцентриситет эллипса рассчитывается по формуле \epsilon = \frac{c}{b} => \epsilon = \frac{3}{5}
4. Построим рисунок:
