Вершини трикутника АВС А (8;7 ) В (3 ; 2 ) С (-1 ; 10) Знайти: 1) рiвняння сторони АВ,BC,AC 2) рiвн

1) Уравнения стороны AB треугольника.
Даны три вершины треугольника A(8;7),В(3;2),С(-1;10) , поэтому уравнения стороны будем искать при помощи формулы уравнения прямой, проходящей через две заданные точки \( \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} \quad (1) \) Подставляем координаты вершин:
уравнение стороны AB, при известных координатах вершины A(8;7), В(3;2) $$ AB \quad \frac{x-8}{3-8} = \frac{y-7}{2-7} => y = x - 1$$
Ответ: уравнение стороны \(AB\): \(y  = x - 1\) 

уравнение стороны BC, при известных координатах вершины В(3;2),С(-1;10) $$BС \quad \frac{x-3}{-1-3} = \frac{y-2}{10-2} => y = -2x +8$$
Ответ: уравнение стороны \(BC\): \(y = -2x +8\)  

уравнение стороны AC, при известных координатах вершины A(8;7),С(-1;10) $$AС \quad \frac{x-8}{-1-8} = \frac{y-7}{10-7} => y = \frac{29}{3} -\frac{1}{3}x$$ 
Ответ: уравнение стороны \(AC\): \(y = \frac{29}{3} -\frac{1}{3}x\)  

2) Уравнение высоты BH, опущенной из вершины \(B\) на сторону \(AC\).
Высота BH опущена из вершины B на сторону AC, т.е. из условия известна одна координата точки В(3;2) и направление - прямая перпендикулярна прямой AC. Воспользуемся свойством угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: \(k_1 = -\frac{1}{k_2}\). Найдем угловой коэффициент \(k_1\) при \(k_2=k_{BC} =-\frac{1}{3}\), получим \(k_{AD} = -\frac{1}{k_{BC}} = 3\). Найдем уравнение прямой BH, для этого воспользуемся уравнением прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении $$ y - y_0 = k(x - x_0) \quad (2)$$ получим $$ y -2 = 3(x - 3) => y = 3x - 7$$
Ответ: уравнение высоты BH \( y = 3x - 7 \)

3) Уравнение медианы AM треугольника \(ΔАВС\)
Для нахождения медианы AM есть координата одной точки A(8;7), а координаты второй точки прямой \(M\) найдем как координаты середины отрезка \(BC\) при известных координатах В(3;2),С(-1;10) по формуле \( M(\frac{x_B+x_C}{2};\frac{y_B+y_C}{2})\) => \( M(\frac{3-1}{2};\frac{2+10}{2}) \) => \( M(1; 6) \)
Находим уравнение прямой \(AM\) по формуле уравнения прямой, проходящей через две заданные точки  A(8;7) и M(1; 6)  уравнение (1)$$ \frac{x-8}{1-8}=\frac{y-7}{6-7} => y =  \frac{1}{7}x + \frac{41}{7}$$
Ответ: уравнение медианы AM \( y =   \frac{1}{7}x + \frac{41}{7} \)

5) Уравнение прямой, которая проходит через точку \(A\) и параллельна прямой стороны BC
Прямая проходит точку \(A\), т.е. из условия известна одна координата точки A(8;7) и направление - прямая параллельна прямой BC \(y = -2x +8\). Воспользуемся свойством угловых коэффициентов параллельных прямых: \(k_1 = k_2\). Найдем угловой коэффициент \(k_1\) при \(k_1 = k_2=k_{BC} =- 2\). Найдем уравнение прямой BC, для этого воспользуемся уравнением прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении $$ y - y_0 = k(x - x_0) \quad (2)$$ получим $$ y -7 = -2(x - 8) => y = 23 - 2x$$ Ответ: уравнение прямой, проходящей через точку A и параллельна прямой стороны BC \( y = 23 - 2x\)

6) Найти расстояние от точки A до прямой BC  
Найдем расстояние от точки до прямой, которое рассчитывается по формуле \(d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \), где \((x_0;y_0)\) - координаты точки, а 
\(Ax_0+By_0+C =0\) - общее уравнение прямой, расстояние до которой ищется.
приводим уравнение прямой \(BC\) к общему виду \( y = -2x +8 => 2x +y -8 =0\), где \(A =-2\), \(B = 1\), координаты точки A(8;7) => \(x_0=8;y_0=7\) подставляем в формулу $$d = \frac{|2*8 +7 -8|}{\sqrt{2^2+1^2}} = 3\sqrt{5} \approx 6,7$$
Ответ: расстояние от точки A до прямой BC равно \(d =   3\sqrt{5} \approx 6,7\)