Чи компланарні вектори a, b, c? a(-3,2,1), b(0,-4,1), c(1,2,-3)

Задание: являются ли вектора \(\vec{a};\vec{b};\vec{c}\) компланарными \(\vec{a}(-3;2;1);\vec{b}(0;-4;1);\vec{c}(1;2;-3)\)
Решение: Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения, которое находится по формуле $$(\vec{a}\times\vec{b})*\vec{c} = \left|\begin{array}{c} a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z\end{array}\right|$$ Подставим координаты и вычислим определитель  $$(\vec{a}\times\vec{b})*\vec{c} = \left|\begin{array}{c} -3 & 2 & 1\\ 0 & -4 & 1 \\ 1 & 2 & -3\end{array}\right| = $$$$ =(-3)(-4)(-3) + 2*1*1+0*2*1 - 1*(-4)*1-2*1*(-3) - 0*2*(-3) = -24$$
Ответ: смешанное произведение векторов \((\vec{a}\times\vec{b})*\vec{c} = -24 \ne 0 \) не равно нулю, т.е. вектора не являются компланарными.