1) Уравнения стороны AB треугольника.
Даны три вершины треугольника A(6;-16), B(-11;-50) , поэтому уравнения стороны будем искать при помощи формулы уравнения прямой, проходящей через две заданные точки \( \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} \quad (1) \) Подставляем координаты вершин:
уравнение стороны AB, при известных координатах вершины A(6;-16), B(-11;-50) $$ AB \quad \frac{x-6}{-11-6} = \frac{y+16}{-50+16} => y = 2x - 28$$
Ответ: уравнение стороны \(AB\): \(y = 2x - 28\)
для следующих расчетов нам понадобится
уравнение стороны BC, при известных координатах вершины B(-11;-50) и C(14.5;-33) $$BС \quad \frac{x+11}{14.5+11} = \frac{y+50}{-33+50} => y = \frac{2}{3}x - \frac{128}{3}$$
уравнение стороны AC, при известных координатах вершины A(6;-16) и C(14.5;-33) $$AС \quad \frac{x-6}{14.5-6} = \frac{y+16}{-33+16} => y = -2x -4$$
2) Уравнение высоты AD, опущенной из вершины \(A\) на сторону \(BC\).
Высота AD опущена из вершины A на сторону BC, т.е. из условия известна одна координата точки A(6;-16) и направление - прямая перпендикулярна прямой BC. Воспользуемся свойством угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: \(k_1 = -\frac{1}{k_2}\). Найдем угловой коэффициент \(k_1\) при \(k_2=k_{BC} = \frac{2}{3}\), получим \(k_{AD} = -\frac{1}{k_{BC}} = -\frac{3}{2}\). Найдем уравнение прямой AD, для этого воспользуемся уравнением прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении $$ y - y_0 = k(x - x_0) \quad (2)$$ получим $$ y + 16 = -\frac{3}{2}(x - 6) => y = -\frac{3}{2}x - 7$$
Ответ: уравнение высоты \( y = -\frac{3}{2}x - 7 \)
3) Длина высоты AD
Найдем расстояние от точки до прямой, которое рассчитывается по формуле \(d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \), где \((x_0;y_0)\) - координаты точки, а
\(Ax_0+By_0+C =0\) - общее уравнение прямой, расстояние до которой ищется.
приводим уравнение прямой \(BC\) к общему виду \( y = \frac{2}{3}x - \frac{128}{3} => - 2x +3y +128 =0\), где \(A =-2\), \(B = 3\), координаты точки А(6;-16) => \(x_0=6;y_0=-16\) подставляем в формулу $$d = \frac{|- 2*6 -3*16 +128|}{\sqrt{2^2+3^2}} = \frac{68}{\sqrt{13}} \approx 18,86$$
Ответ: длина высоты \(AD\) равна \(AD = \frac{68}{\sqrt{13}} \approx 18,86\)
4) Уравнение медианы BK треугольника \(ΔАВС\), которая проходит через вершину \(B\)
Для нахождения медианы BM есть координата одной точки B(-11;-50), а координаты второй точки прямой \(K\) найдем как координаты середины отрезка \(AC\) при известных координатах A(6;-16), C(14.5;-33) по формуле \( M(\frac{x_A+x_C}{2};\frac{y_A+y_C}{2})\) => \( K(\frac{6+14.5}{2};\frac{-16-33}{2}) \) => \( K(10.25; -24.5) \)
Находим уравнение прямой \(BK\) по формуле уравнения прямой, проходящей через две заданные точки \(B(-11;-50)\) и \(K(10.25; -24.5)\) уравнение (1)$$ \frac{x+11}{10,25+11}=\frac{y+50}{-24,5+50} => y = \frac{6}{5}x - \frac{184}{5}$$
Ответ: уравнение медианы BK \( y = \frac{6}{5}x - \frac{184}{5} \)
5) Площадь треугольника
Площадь треугольника будем искать по формуле \(S = \frac{1}{2}ah\). Длина высоты уже известна см. п. 3) \(h = AD = \frac{68}{\sqrt{13}} \approx 18,86\). Необходимо найти длину стороны \(BC\) как расстояние между точками B(-11;-50) и C(14.5;-33). Расстояние между точками находится по формуле Пифагора \(a = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\), получаем $$a = \sqrt{(-11-14.5)^2+(-50+33)^2} \approx 30.65$$ подставляем в формулу площади треугольника $$S_{ΔABC} = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2} 30.65*18.86 \approx 289.06$$ Ответ: площадь треугольника равна \(S_{ΔABC} \approx 289.06\)
6) Уравнение биссектрисы AE
Воспользуемся свойством биссектрисы угла: расстояние от точки биссектрисы до сторон угла равны. Пусть точка с координатами (x;y) принадлежит биссектрисе, тогда расстояние от этой точки до стороны угла (стороны треугольника) рассчитывается по формуле: расстояние от точки до прямой \(d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \)
Найдем расстояние от этой точки до прямых
a) AB. Получим общее уравнение прямой AB \(y = 2x - 28 => 2x - y - 28 =0\), где \(A=2;B=-1\), тогда расстояние от точки (x;y) до этой прямой будет равно \(d_1 = \frac{|2x - y - 28|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}= \frac{|2x - y - 28|}{\sqrt{5}}\)
b) AC. Получим общее уравнение прямой AC \(y = -2x - 4 => 2x + y + 4 =0\), где \(A=2;B=1\), тогда расстояние от точки (x;y) до этой прямой будет равно \(d_2 = \frac{|2x + y + 4|}{\sqrt{2^2+1^2}}= \frac{|2x + y + 4|}{\sqrt{5}}\)
c) Согласно свойства биссектрисы угла, расстояния равны \(d_1=d_2\) . Приравняем их $$\frac{|2x - y - 28|}{\sqrt{5}} = \frac{|2x - y - 28|}{\sqrt{5}} => |2x - y - 28| =|2x + y + 4| $$ Нужно открыть модуль. При раскрытии модуля нужно рассмотреть 4 случая, но они попарно дадут одинаковые ответы, поэтому рассмотрим 2 случая.
Пусть \(2x - y - 28 > 0 ; 2x + y + 4 > 0\), тогда получаем \( 2x - y - 28 = 2x + y + 4 => y = -16\)
Пусть \(2x - y - 28 > 0 ; 2x + y + 4 < 0 \), тогда получаем \( 2x - y - 28 = - 2x - y - 4 => x = 6\)
Получили две биссектрисы. (биссектрисы смежных углов двух пересекающихся прямых). Выбираем нужную, смотрим на рисунок. Это будет \(x = 6\)
Ответ: уравнение биссектрисы AE: \(x=6\)
7) Угол между биссектрисой и медианой.
В данном случае угол между биссектрисой и осью Ox равен \(90^0\), а угол между медианой и положительным направлением оси Ox равен \(\alpha = arctg(k_{m})\), где \(k_m = \frac{6}{5}\) - угловой коэффициент уравнения медианы \(y =\frac{6}{5}x - \frac{184}{5}\), тогда получаем \(\alpha = arctg(\frac{6}{5}) \approx 50^0 \), тогда угол между прямыми равен \(90^0 - 50^0 \approx 40^0\)
Ответ: угол между медианой и биссектрисой равен \(40^0\)
8) Строим рисунок
