Решение:
1. Докажем, что три вектора a,b,c образуют базис трехмерного пространства.
Три вектора образуют базис, если они линейно независимые, таким образом, если мы составим определитель из координат этих векторов и найдем его, то согласно свойства строк (столбцов) определителя, определитель будет равен нулю, если строки (столбцы) определителя линейно зависимы, если определитель не равен 0, то вектора линейно независимые и образуют базис.
Найдем определитель матрицы переходов, составленной из координат векторов a,b,c |A| = \left|\begin{array}{c}2 & 4 & 1\\ 1 & 3 & 6\\ 5 & 3 & 1\end{array}\right| = 2*3*1+4*6*5+1*3*1-1*3*5-3*6*2-1*4*1 = 74 \ne 0 получили, что определитель не равен 0, т.е. векторы линейно независимые и образуют базис R^3.
2. Найдем координаты вектора d=(24;20;6) в этом базисе. Для этого решим линейное матричное уравнение Ax=d
методом Гаусса
Составим расширенную матрицу системы (A|d)
(A|b) = \left(\begin{array}{c} 2 & 4 & 1\\ 1 & 3 & 6\\ 5 & 3 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 24\\ 20\\ 6 \end{array}\right.\right) =
путем простейших преобразований приведем матрицу A к единичной:
Прямой ход метода Гаусса
1. Выберем элемент a_{11} за ведущий. Для простоты расчетов нужно чтобы он был равен 1, можно всю строку разделить на 2, а можно вычесть из первой строки вторую, получаем
= \left(\begin{array}{c} 1 & 1 & -5 \\ 1 & 3 & 6\\ 5 & 3 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 4\\ 20\\ 6 \end{array}\right.\right) =
получили a_{11} = 1
вычтем из второй строки первую
= \left(\begin{array}{c} 1 & 1 & -5 \\ 0 & 2 & 11\\ 5 & 3 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 4\\ 16\\ 6 \end{array}\right.\right) =
вычтем из третьей строки первую, умноженную на 5
= \left(\begin{array}{c} 1 & 1 & -5 \\ 0 & 2 & 11\\ 0 & -2 & 26 \end{array}\left|\begin{array}{c} 4\\ 16\\ -14 \end{array}\right.\right) =
сложим третью строку со второй
= \left(\begin{array}{c} 1 & 1 & -5 \\ 0 & 2 & 11\\ 0 & 0 & 37 \end{array}\left|\begin{array}{c} 4\\ 16\\ 2 \end{array}\right.\right) =
разделим третью строку на 37
= \left(\begin{array}{c} 1 & 1 & -5 \\ 0 & 2 & 11\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 4\\ 16\\ \frac{2}{37} \end{array}\right.\right) =
Прямой ход метода Гаусса закончился, приступаем к обратному ходу.
Выбираем за ведущий элемент a_{33} =1,
умножим третью строку на 11 и вычтем из второй строки
= \left(\begin{array}{c} 1 & 1 & -5 \\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 4\\ \frac{570}{37}\\ \frac{2}{37} \end{array}\right.\right) =
умножим третью строку на 5 и сложим с первой строкой
= \left(\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} \frac{158}{37}\\ \frac{570}{37}\\ \frac{2}{37} \end{array}\right.\right) =
чтобы получить единичную матрицу осталось разделить вторую строку на 2
= \left(\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} \frac{158}{37}\\ \frac{285}{37}\\ \frac{2}{37} \end{array}\right.\right) =
и вычесть вторую строку из первой
= \left(\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} -\frac{127}{37}\\ \frac{285}{37}\\ \frac{2}{37} \end{array}\right.\right)
Получили расширенную матрицу у которой матрица A - единичная, а матрица x =\left(\begin{array}{c} -\frac{127}{37}\\ \frac{285}{37}\\ \frac{2}{37} \end{array}\right) это есть искомая матрица, координаты вектора d в базисе (a;b;c)
Ответ: координаты вектора d в базисе (a;b;c) x =\left(\begin{array}{c} -\frac{127}{37}\\ \frac{285}{37}\\ \frac{2}{37} \end{array}\right)
