Знайти косинус кута, утвореного прямими: $$ \begin{cases} х+2у-z+4=0 \\ x+z-1=0 \end{cases} $$ та $$ \begin{cases} x=-1+2t \\ y=5 \\ z=2-t \end{cases}$$
Рішення:
Розглянемо дві прямі лінії, рівняння яких задані в канонічній формі: $$ \frac{x-x_1}{m_1} = \frac{y-y_1}{n_1} = \frac{z-z_1}{p_1} \quad (1)$$$$ \frac{x-x_2}{m_2} = \frac{y-y_2}{n_2} = \frac{z-z_2}{p_2}$$
Кутом між двома прямими лініями буде кут між напрямними векторами \(s_1= (m_1;n_1;p_1) \) і \(s_2= (m_2;n_2;p_2)\)
Тоді кут між двома прямими будемо шукати за формулою $$ \cos \phi = \pm \frac{s_1s_2}{|s_1||s_2|}$$ або $$ \cos \phi = \pm \frac{ m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2}{ \sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2} \sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}} \quad (2) $$ Знак "+" чи"-" вибирається залежно від того, який із двох кутів між прямими лініями розглядається: гострий чи тупий відповідно.
1. Розглянемо рівняння прямої \( \begin{cases} х+2у-z+4=0 \\ x+z-1=0 \end{cases} \).
Лінія задана за допомогою системи рівнянь двох площин, для яких ця пряма є їх лінією перетину: $$ \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1 = 0 \\A_2x+B_2y+C_2z+D_2 = 0\end{cases} $$ де \( \vec{N_1} = (A_1;B_1;C_1)\) і \( \vec{N_2} = (A_2;B_2;C_2)\) вектора нормалі кожної з даних площин, тоді напрямним вектором даної прямої лінії буде вектор \( \vec{s} = \vec{N_1} \times \vec{N_2}\)
Рівняння в завданні називається загальним рівнянням прямої лінії в координатної формі.
Знайдемо рівняння прямої лінії в канонічній формі (1), це також рівняння прямої, що проходить через задану точку, в заданому напрямку
де \(x_1;y_1;z_1\) - координати точки, яка належить прямій
де \( \vec{s} = (m; n; p)\) - напрямний вектор прямої лінії.
Для знаходження канонічного рівняння прямої потрібно знайти:
1. точку, яка належить прямій
2. напрямний вектор
В даному випадку канонічне рівняння прямої знайдено для демонстрації методу пошуку. Досить було знайти напрямний вектор.
1. Шукаємо точку, яка належить прямій
Візьмемо будь-яку точку даної прямої. Припустімо, наприклад, \(z = 0\), останні дві координати знаходим із системи рівнянь $$ \begin{cases} х+2у-z+4=0 \\ x+z-1=0 \\z =0 \end{cases} => $$$$ \begin{cases} х+2у+4=0 \\ x-1=0 \\ z=0 \end{cases} => \begin{cases} у= - \frac{5}{2} \\ x = 1 \\ z=0 \end{cases} $$ Отримали координати точки, яка належить прямій \(( 1 ; -\frac{5}{2}; 0)\)
2. Шукаємо напрямний вектор прямої лінії.
З рівнянь площ знайдемо вектора нормалі кожної з даних площин, що при перетині утворюють пряму лінію, є \( \vec{N_1} = (1;2;-1)\) і \( \vec{N_2} = (1;0;1)\).
Тоді напрямним вектором даної прямої лінії буде $$ \vec{s} = \vec{N_1} \times \vec{N_2} = \begin{vmatrix}i & j & k \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = $$$$ = (-1)^{1+1}i(2*1 - (-1)0)+(-1)^{1+2}j(1*1-1*(-1))+(-1)^{1+3}k(1*0-2*1) = $$$$ = 2i-2j-2k $$ Отримали напрямний вектор \( \vec{s} = (2;-2;-2)\)
3. Шукаємо канонічне рівняння прямої лінії:
Підставимо отримані координати точки і координати направляючого вектора в канонічне рівняння прямої (1)
$$ \frac{x -1}{2} = \frac{y-\frac{5}{2}}{-2} = \frac{z}{-2} $$
Відповідь: напрямний вектор прямої лінії \(s_1= (2;-2;-2) \)
2. Розглянемо рівняння прямої \( \begin{cases} x=-1+2t \\ y=5 \\ z=2-t \end{cases} \).
Рівняння прямої задано в параметричної формі. Розглянемо рівняння прямої в канонічній формі \(\frac{x-x_1}{m_1} = \frac{y-y_1}{n_1} = \frac{z-z_1}{p_1} = t \). Виразимо параметр і підставимо результат в канонічне рівняння прямої: $$ \begin{cases} x=-1+2t \\ y=5 \\ z=2-t \end{cases} => \begin{cases} t = \frac{x + 1}{2} \\ t = \frac{y-5}{0} \\ t = \frac{z-2}{-1} \end{cases}$$
Підставляємо в канонічне рівняння прямої $$ \frac{x + 1}{2} = \frac{y-5}{0} = \frac{z-2}{-1} $$
Відповідь: напрямний вектор прямої лінії \(s_2= (2;0;-1) \)
3. Косинус кута між двома прямими лініями - кут між напрямними векторами \( s_1= (2;-2;-2) \) і \( s_2= (2;0;-1)\)
Поставляєм координати векторів в (2) $$ \cos \phi = \pm \frac{ 2*2+(-2)*0+(-2)(-1)}{ \sqrt{ 2^2+(-2)^2+(-2)^2} \sqrt{2^2+0^2+(-1)^2}} = \pm \sqrt{ \frac{3}{5}} $$
Відповідь: косинус кута між двома прямими лініями \( \cos \phi = \pm \sqrt{ \frac{3}{5}}\)
