Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/Latin1Supplement.js
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Знайти косинус кута, утвореного прямими \begin{cases} х+2у-z+4=0 \\ x+z-1=0 \end{cases}


1 Vote
Моторний Олег
Posted Октябрь 22, 2014 by Моторний Олег Миколайович
Категория: Аналитическая геометрия
Всего просмотров: 4437

Знайти косинус кута, утвореного прямими  \begin{cases} х+2у-z+4=0 \\ x+z-1=0  \end{cases}  \begin{cases} x=-1+2t \\ y=5 \\ z=2-t  \end{cases}

Теги: пряма лінія в просторі, пряма лінія як перетин двох площин

Все ответы


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Июль 18, 2015 by Вячеслав Моргун

Знайти косинус кута, утвореного прямими:   \begin{cases} х+2у-z+4=0 \\ x+z-1=0  \end{cases} та  \begin{cases} x=-1+2t \\ y=5 \\ z=2-t  \end{cases}


Рішення
Розглянемо дві прямі лінії, рівняння яких задані в канонічній формі: \frac{x-x_1}{m_1} = \frac{y-y_1}{n_1} = \frac{z-z_1}{p_1} \quad (1) \frac{x-x_2}{m_2} = \frac{y-y_2}{n_2} = \frac{z-z_2}{p_2}


Кутом між двома прямими лініями буде кут між напрямними векторами s_1= (m_1;n_1;p_1) і s_2= (m_2;n_2;p_2)
Тоді кут між двома прямими будемо шукати за формулою \cos \phi = \pm \frac{s_1s_2}{|s_1||s_2|} або  \cos \phi = \pm \frac{ m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2}{ \sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2} \sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}} \quad (2) Знак "+" чи"-" вибирається залежно від того, який із двох кутів між прямими лініями розглядається: гострий чи тупий відповідно.


1. Розглянемо рівняння прямої  \begin{cases} х+2у-z+4=0 \\ x+z-1=0  \end{cases} .
Лінія задана за допомогою системи рівнянь двох площин, для яких ця пряма є їх лінією перетину:  \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1 = 0 \\A_2x+B_2y+C_2z+D_2 = 0\end{cases} де   \vec{N_1} = (A_1;B_1;C_1) і  \vec{N_2} = (A_2;B_2;C_2) вектора нормалі кожної з даних площин, тоді напрямним вектором даної прямої лінії буде вектор \vec{s} = \vec{N_1} \times \vec{N_2}


Рівняння в завданні називається загальним рівнянням прямої лінії в координатної формі.

Знайдемо  рівняння прямої лінії в канонічній формі (1), це також рівняння прямої, що проходить через задану точку, в заданому напрямку
де x_1;y_1;z_1 - координати точки, яка належить прямій
де \vec{s} = (m; n; p) - напрямний вектор прямої лінії.

Для знаходження канонічного рівняння прямої потрібно знайти:
1. точку, яка належить прямій
2.  напрямний вектор 


В даному випадку канонічне рівняння прямої знайдено для демонстрації методу пошуку. Досить було знайти напрямний вектор. 


1. Шукаємо точку, яка належить прямій
Візьмемо будь-яку точку даної прямої. Припустімо, наприклад,  z = 0, останні дві координати знаходим із системи рівнянь   \begin{cases} х+2у-z+4=0 \\ x+z-1=0 \\z =0 \end{cases} =>  \begin{cases} х+2у+4=0 \\ x-1=0 \\ z=0  \end{cases} => \begin{cases} у= - \frac{5}{2} \\ x = 1 \\ z=0  \end{cases} Отримали координати точки, яка належить прямій ( 1 ; -\frac{5}{2}; 0)


2. Шукаємо напрямний вектор прямої лінії.
З рівнянь площ знайдемо вектора нормалі кожної з даних площин, що при перетині утворюють пряму лінію, є \vec{N_1} = (1;2;-1) і  \vec{N_2} = (1;0;1).
Тоді напрямним вектором даної прямої лінії буде \vec{s} = \vec{N_1} \times \vec{N_2}  = \begin{vmatrix}i & j & k \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = = (-1)^{1+1}i(2*1 - (-1)0)+(-1)^{1+2}j(1*1-1*(-1))+(-1)^{1+3}k(1*0-2*1) = = 2i-2j-2k Отримали напрямний вектор \vec{s} = (2;-2;-2)


3. Шукаємо канонічне рівняння прямої лінії:
Підставимо отримані координати точки і координати направляючого вектора в канонічне рівняння прямої (1)
  \frac{x -1}{2} = \frac{y-\frac{5}{2}}{-2} = \frac{z}{-2}
Відповідь: напрямний вектор прямої лінії s_1= (2;-2;-2) 


2. Розглянемо рівняння прямої  \begin{cases} x=-1+2t \\ y=5 \\ z=2-t  \end{cases} .
Рівняння прямої задано в параметричної формі. Розглянемо рівняння прямої в канонічній формі \frac{x-x_1}{m_1} = \frac{y-y_1}{n_1} = \frac{z-z_1}{p_1} = t . Виразимо параметр і підставимо результат в канонічне рівняння прямої:  \begin{cases} x=-1+2t \\ y=5 \\ z=2-t  \end{cases} => \begin{cases} t = \frac{x + 1}{2} \\  t = \frac{y-5}{0} \\  t = \frac{z-2}{-1} \end{cases}
Підставляємо в канонічне рівняння прямої \frac{x + 1}{2} = \frac{y-5}{0} = \frac{z-2}{-1}
Відповідь: напрямний вектор прямої лінії s_2= (2;0;-1)


3. Косинус кута між двома прямими лініями  -  кут між напрямними векторами  s_1= (2;-2;-2)  і  s_2= (2;0;-1)
Поставляєм координати векторів в (2)  \cos \phi = \pm \frac{ 2*2+(-2)*0+(-2)(-1)}{ \sqrt{ 2^2+(-2)^2+(-2)^2} \sqrt{2^2+0^2+(-1)^2}}  = \pm \sqrt{ \frac{3}{5}}
Відповідь: косинус кута між двома прямими лініями  \cos \phi   = \pm \sqrt{ \frac{3}{5}}