Исследуем систему линейных уравнений на совместность и найдем ее общее решение.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
1. Расширенная матрица системы,
В задании дана расширенная матрица системы: \((A|b) = \left(\begin{array}{c}1 &2 &1 & 0\\ 0 &3 &1 & 3\\ 2 &7 &3 & 3 \end{array}\left|\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right.\right) \)
Согласно теоремы Кронекера-Капелли система \(Ax=b\) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы \(rg(A|b)=rgA\)
Найдем ранг матрицы
2. Используя элементарные преобразования над строками матрицы \((A|b)\) , приведем ее к ступенчатому виду,
для этого используем метод Гаусса.
Прямой ход метода Гаусса. Берем в качестве ведущего элемента \(a_{11} = 1 \ne 0\).
Во второй строке элемент \(a_{21} = 0\), поэтому с этой строкой преобразования проводить не будем.
К третей строке прибавим первую строку, умноженную на \(-2\)
\((A|b) = \left(\begin{array}{c}1 &2 &1 & 0\\ 0 &3 &1 & 3\\ 2 &7 &3 & 3 \end{array}\left|\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right.\right) \sim \left(\begin{array}{c}1 &2 &1 & 0\\ 0 &3 &1 & 3\\ 0 & 3 &1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right.\right) \sim\)
Получили вторую и третью строки равные, вычтем из третьей строки вторую \( \left(\begin{array}{c}1 &2 &1 & 0\\ 0 &3 &1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\left|\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right.\right) \sim \)
3. Определим ранг матрицы \(rgA = rg(A|b) = 2 \) Согласно теоремы Кронекера-Капелли система совместна.
Так как система совместна, продолжаем ее решать методом Гаусса, приводим полученную матрицу \((\widetilde{A}|\widetilde{b})\) к упрощенному виду:
4. Обратный ход метода Гаусса. Берем в качестве ведущего элемента \(a_{22} = 3 \ne 0\).
Разделим строку на 3, чтобы получить \(a_{22} = 1\)
\( \left(\begin{array}{c}1 &2 &1 & 0\\ 0 &1 &\frac{1}{3} & 1\\ 0 & 0 &0 & 0 \end{array}\left|\begin{array}{c} 1 \\ \frac{2}{3} \\ 0 \end{array}\right.\right) \sim \) Из первой строки вычитаем вторую строку, умноженную на \(2\)
\( \left(\begin{array}{c}1 & 0 &\frac{1}{3} & -2\\ 0 &1 &\frac{1}{3} & 1\\ 0 & 0 &0 & 0 \end{array}\left|\begin{array}{c} -\frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ 0 \end{array}\right.\right) \sim \) Привели матрицу к ступенчатому виду.
5. Общее решение системы.
Рассмотрим итоговую матрицу, из которой следует переменные \(x_1,x_2\) - базисные, \(x_3,x_4\) - свободные. Система имеет бесконечное множество решений
Записываем общее решение системы \( \begin{cases} x_1 = -\frac{1}{3} - \frac{1}{3}x_3 +2x_4 \\ x_2 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3}x_3 - x_4 \end{cases} \)
