Если функция \(z(x,y) = x^2+y^2+xy\) дифференцируема, то производная функции \( z(x;y)\)в точке c координатами M(3;2) по направлению, определяемому вектором \( \vec{a}\) (в условии задачи от точки с координатами (3;2), обозначим ее как M(3;2) к точке с координатами (6;5)) находится по формуле $$ \frac{\text{d}z}{\text{d}a} = \frac{\partial z}{\partial x} \cos \alpha + \frac{\partial z}{\partial y} \cos \beta \quad (1)$$ Функция дифференцируемая, поэтому для вычисления производной по направлению найдем:
1. координаты направляющего вектора:
\(\vec{a}=(6-3;5-2) => \vec{a}=(3;3)\)
Координаты направляющего вектора \(\vec{a}(3;3)\)
2. направляющие косинусы вектора \( \vec{a}\) с координатами \( \vec{a} = (3;3)\)
Находим направляющие косинусы вектора \(\vec{a}\) по формуле \(\cos \alpha = \frac{x}{ \sqrt{x^2+y^2}}; \cos \beta = \frac{y}{ \sqrt{x^2+y^2}}\), получаем
$$ \cos \alpha = \frac{3}{ \sqrt{3^2+3^2}} = \frac{1}{ \sqrt{2}}$$
$$ \cos \beta = \frac{3}{ \sqrt{3^2+3^2}} = \frac{1}{ \sqrt{2}}$$
2. частные производные функции \(z(x;y)\)
Находим частные производные функции \(z(x;y)\) в точке с координатами M(3;2)
Находим частную производную функции \(z(x;y)\) по \(x\)
$$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial x}(x^2+y^2+xy) = 2x+y$$ Подставляем координаты точки M(3;2)
$$\frac{\partial z}{\partial x} |_M = 2*3+2 = 8$$
Находим частную производную \(z(x;y)\) по \(y\)
$$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial y}(x^2+y^2+xy) = 2y+x$$Подставляем координаты точки M(3;2)
$$\frac{\partial z}{\partial y} |_M = 2*2+3 = 7$$
3. Подстановка в формулу (1) производной по направлению
$$\frac{\text{d}z}{\text{d}a}|_M = \frac{\partial z}{\partial x} \cos \alpha + \frac{\partial z}{\partial y} \cos \beta = 8* \frac{1}{ \sqrt{2}} + 7* \frac{1}{ \sqrt{2}} = \frac{15}{ \sqrt{2}} $$
4. Ответ: производная функции в заданной точке с координатами M(3;2) в направлении точки м координатами (6;5) равна \( \frac{\text{d}z}{\text{d}a}|_M = \frac{15}{ \sqrt{2}}\)
