Решение: вычислим приближенно определенный интеграл, используя разложение подынтегральной функции в степенные ряды. Представим подынтегральную функцию в виде произведения двух функций \(f(x) = \frac{1}{x}\) и \( f(x) = \cos(x)\). Разложим функцию \( f(x) = \cos(x)\) в степенной ряд Маклорена $$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + ..... \quad (1)$$ Найдем значении функции и значения ее производных в точке \(x=0\)
\(f(0) = \cos(0) = 1\)
\(f'(0) = -\sin(0) = 0\)
\(f''(0) = -\cos(0) = 1\)
\(f'''(0) = \sin(0) = 0\)
Подставляем в (1), получаем разложение функции \(f(x) = \cos(x)\) в ряд Маклорена $$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + Q(x^7) $$ Получаем подынтегральное выражение $$\frac{\cos(x)}{x} = \frac{1}{x} - \frac{x}{2!} + \frac{x^3}{24} - \frac{x^5}{720} + Q(x^6)$$ Интегрируем обе части равенства в заданных границах $$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos(x)}{x} = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}(\frac{1}{x} - \frac{x}{2!} + \frac{x^3}{4!} - \frac{x^5}{6!} + Q(x^6))dx = $$$$ = \ln(x) - \frac{x^2}{2!*2} + \frac{x^4}{4!*4} - \frac{x^6}{6!*6} + Q(x)|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \approx $$$$ \approx \ln(\frac{\pi}{4}) - \ln(\frac{\pi}{6}) - \frac{(\frac{\pi}{4})^2 - (\frac{\pi}{6})^2}{2!*24} + \frac{(\frac{\pi}{4})^4 - (\frac{\pi}{6})^4}{4!*4} - \frac{(\frac{\pi}{4})^6 - (\frac{\pi}{6})^6}{6!*6} = $$$$ = \ln(\frac{3}{2}) - \frac{(\frac{\pi}{4})^2 - (\frac{\pi}{6})^2}{2!*2} + \frac{(\frac{\pi}{4})^4 - (\frac{\pi}{6})^4}{4!*4} - \frac{(\frac{\pi}{4})^6 - (\frac{\pi}{6})^6}{6!*6} $$ Получили знакопеременный ряд. Для того, чтобы проводить дальнейшие расчеты необходимо определить количество членов ряда для суммирования с учетом того, что погрешность \(\sigma = 0.001\)
Найдем значения каждого члена ряда
\( \ln(\frac{3}{2}) \approx 0.4055\)
\( \frac{(\frac{\pi}{4})^2 - (\frac{\pi}{6})^2}{2!*2} \approx 0.0857\)
\( \frac{(\frac{\pi}{4})^4 - (\frac{\pi}{6})^4}{4!*4} \approx 0.0032\)
\( \frac{(\frac{\pi}{4})^6 - (\frac{\pi}{6})^6}{6!*6} \approx 0.00005 < 0.001\)
Дальнейшие расчеты проводить не будим, точность расчетов достаточна $$ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos(x)}{x} \approx 0.4055 - 0.0857 + 0.0032 - 0.00005 \approx 0.323 $$
Ответ: \(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos(x)}{x} \approx 0.323 \)
