Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки длиной


1 Vote
Курагина Е.Н
Posted Апрель 4, 2013 by Курагина Е.Н
Категория: Школьная математика 9-11
Всего просмотров: 17237

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки длиной n и m. Найдите площадь треугольника. И чертеж

Теги: планиметрия, прямоугольный треугольник, вписанная окружность, площадь треугольника

Лучший ответ


1 Vote
Вячеслав Морг
Posted Апрель 4, 2013 by Вячеслав Моргун

Рассмотрим рисунок


окружность вписана в прямоугольный треугольник


Используя теорему Пифагора и формулу площади прямоугольного треугольника, получили систему уравнений: $$\begin{cases}(r+n)^2+(r+m)^2 = (m+n)^2\\ S = \frac{1}{2}(m+r)(n+r)\end{cases} =>\begin{cases} r^2 + 2rn +n^2+ r^2 + 2rm+m^2 = m^2+2mn+n^2\\ S = \frac{1}{2}(mn+mr+rn+r^2)\end{cases} =>$$$$\begin{cases} 2r^2 + 2rn + 2rm = 2mn\\ S = \frac{1}{2}(mn+mr+rn+r^2)\end{cases} =>\begin{cases} r^2 + rn + rm = mn\\ S = \frac{1}{2}(mn+mr+rn+r^2)\end{cases} =>$$подставляем первое уравнение во второе $$\begin{cases} r^2 + rn + rm = mn\\ S = \frac{1}{2}(mn+mn)\end{cases} =>\begin{cases} r^2 + rn + rm = mn\\ S = mn\end{cases} =>$$Ответ: площадь прямоугольного треугольника равна \(S_{ABC} = mn\)


Другие ответы


0 Голосов
Курагина Е.Н
Posted Апрель 4, 2013 by Курагина Е.Н

А тут ответ должен быть mn