Знайти точку $М_1$ симетричну до точки $M(0;-3;-2)$ відносно прямої

Решение: 
1. найдем уравнение плоскости,
которая проходит через точку $M(0;-3;-2)$ и перпендикулярна заданной прямой $\frac{x-\frac{1}{2}}{0}= \frac{y+\frac{3}{2}}{-1} = \frac{z-\frac{3}{2}}{1}$. Из уравнения прямой найдем координаты направляющего вектора прямой $\vec{s}(0;-1;1)$  Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через заданную точку $$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$$ где $x_0;y_0;z_0$ - координаты точки плоскости (в нашем случае это точка $M(0;-3;-2)$), а $\vec{N}(A;B;C)$ - координаты вектора нормали к плоскости. Т.к. плоскость перпендикулярна прямой, то координаты направляющего вектора прямой и вектора нормали плоскости совпадают $\vec{N} = \vec{s} = (0;-1;1)$. Получили уравнение плоскости $$0*(x-0) -(y+3) + (z+2) = 0 => z-y -1=0$$
2. Найдем точку пересечения прямой и плоскости.
Представим уравнение прямой в параметрическом виде $$\frac{x-\frac{1}{2}}{0}= \frac{y+\frac{3}{2}}{-1} = \frac{z-\frac{3}{2}}{1} = t => \begin{cases}x=\frac{1}{2} \\ y =-t-\frac{3}{2}\\ z = t+\frac{3}{2}\end{cases}$$ Т.о. мы получили координаты x,y,z. Т.к. прямая и плоскость пересекаются, то при подстановке этих координат в уравнение плоскости, получим параметр $t$ и координаты точки пересечения. $$z-y -1=0 =>  t+\frac{3}{2} + t+ \frac{3}{2} -1 =0 => t =  -1$$ Подставляем полученный параметр в систему уравнений и найдем координаты точки пересечения $$\begin{cases}x=\frac{1}{2} \\ y =-t-\frac{3}{2}\\ z = t+\frac{3}{2}\end{cases} =>  \begin{cases}x=\frac{1}{2} \\ y =1-\frac{3}{2}\\ z = -1+\frac{3}{2}\end{cases} =>  \begin{cases}x=\frac{1}{2} \\ y =-\frac{1}{2}\\ z =\frac{1}{2}\end{cases}$$ Получили координаты $M_2(\frac{1}{2};-\frac{1}{2};\frac{1}{2})$
3. Найдем координаты точки $M_1$ симметричной точке $M$ относительно заданной прямой.
Мы уже нашли координаты проекции прямой на плоскость это т.$M_2$ Координаты искомой точки будем искать как координаты точки $M$ плюс удвоенная разность координат точек $M$  и $M_2$, т.е. $$\begin{cases}x_1 = x + 2(x_2-x) \\ y_1 = y + 2(y_2-y)\\ z_1 = z + 2(z_2-z)\end{cases} =>\begin{cases}x_1 = 2x_2-x \\ y_1 = 2y_2-y\\ z_1 = 2z_2-z\end{cases}$$ подставляем координаты $$\begin{cases}x_1 = 2\frac{1}{2}-0 \\ y_1 = 2(-\frac{1}{2})-(-3)\\ z_1 = 2\frac{1}{2}-(-2)\end{cases} => \begin{cases}x_1 = 1 \\ y_1 = 2 \\ z_1 = 3\end{cases}$$
Ответ: координаты точки $M_1(1;2;3)$