Решение:
1. найдем уравнение плоскости,
которая проходит через точку \(M(0;-3;-2)\) и перпендикулярна заданной прямой \(\frac{x-\frac{1}{2}}{0}= \frac{y+\frac{3}{2}}{-1} = \frac{z-\frac{3}{2}}{1}\). Из уравнения прямой найдем координаты направляющего вектора прямой \(\vec{s}(0;-1;1)\) Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через заданную точку $$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$$ где \(x_0;y_0;z_0\) - координаты точки плоскости (в нашем случае это точка \(M(0;-3;-2)\)), а \(\vec{N}(A;B;C)\) - координаты вектора нормали к плоскости. Т.к. плоскость перпендикулярна прямой, то координаты направляющего вектора прямой и вектора нормали плоскости совпадают \(\vec{N} = \vec{s} = (0;-1;1)\). Получили уравнение плоскости $$0*(x-0) -(y+3) + (z+2) = 0 => z-y -1=0$$
2. Найдем точку пересечения прямой и плоскости.
Представим уравнение прямой в параметрическом виде $$\frac{x-\frac{1}{2}}{0}= \frac{y+\frac{3}{2}}{-1} = \frac{z-\frac{3}{2}}{1} = t => \begin{cases}x=\frac{1}{2} \\ y =-t-\frac{3}{2}\\ z = t+\frac{3}{2}\end{cases}$$ Т.о. мы получили координаты x,y,z. Т.к. прямая и плоскость пересекаются, то при подстановке этих координат в уравнение плоскости, получим параметр \(t\) и координаты точки пересечения. $$ z-y -1=0 => t+\frac{3}{2} + t+ \frac{3}{2} -1 =0 => t = -1$$ Подставляем полученный параметр в систему уравнений и найдем координаты точки пересечения $$ \begin{cases}x=\frac{1}{2} \\ y =-t-\frac{3}{2}\\ z = t+\frac{3}{2}\end{cases} => \begin{cases}x=\frac{1}{2} \\ y =1-\frac{3}{2}\\ z = -1+\frac{3}{2}\end{cases} => \begin{cases}x=\frac{1}{2} \\ y =-\frac{1}{2}\\ z =\frac{1}{2}\end{cases}$$ Получили координаты \(M_2(\frac{1}{2};-\frac{1}{2};\frac{1}{2})\)
3. Найдем координаты точки \(M_1\) симметричной точке \(M\) относительно заданной прямой.
Мы уже нашли координаты проекции прямой на плоскость это т.\(M_2\) Координаты искомой точки будем искать как координаты точки \(M\) плюс удвоенная разность координат точек \(M\) и \(M_2\), т.е. $$\begin{cases}x_1 = x + 2(x_2-x) \\ y_1 = y + 2(y_2-y)\\ z_1 = z + 2(z_2-z)\end{cases} =>\begin{cases}x_1 = 2x_2-x \\ y_1 = 2y_2-y\\ z_1 = 2z_2-z\end{cases}$$ подставляем координаты $$\begin{cases}x_1 = 2\frac{1}{2}-0 \\ y_1 = 2(-\frac{1}{2})-(-3)\\ z_1 = 2\frac{1}{2}-(-2)\end{cases} => \begin{cases}x_1 = 1 \\ y_1 = 2 \\ z_1 = 3\end{cases}$$
Ответ: координаты точки \(M_1(1;2;3)\)
