Исследуем функцию \( y=e^{\frac{1}{x}} \) и построим ее график.
1. Область определения.
Ограничения на область определения накладывает рациональная функция (дробь) - степень показательной функции. Знаменатель дроби не равен нулю, т.е. \( x \ne 0 \) => ОДЗ $$D_f=(-\infty; 0) \cup (0;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точку разрыва x = 0
исследуем точку x= 0. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$\lim_{x \to 0+0} e^{\frac{1}{x}}= +\infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to 0-0} e^{\frac{1}{x}} = 0 $$ Это точка разрыва второго рода т.к. правосторонний предел равен \( \infty\).
Прямая \(x = 0\) является вертикальной асимптотой.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = e^{\frac{1}{-x}} \) функция не является ни четной ни не четной.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \( e^{\frac{1}{x}} = 0 \). Кривая не имеет точек пересечения с осью Ox
Интервалы знакопостоянства функции. т.к. точек пересечения с осью Ох нет, то рассмотрим интервалы знакопостоянатва только на ОДЗ
Показательная функция положительная на всем ОДЗ \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox.
5. Точки пересечения с осью Oy: точки пересечения с осью Оу нет, т.к. точка \(x=0\) не попадает в ОДЗ
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (e^{\frac{1}{x}})'= e^{\frac{1}{x}}*(-\frac{1}{x^2})$$ приравняем к 0 $$ -\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}= 0 => $$ функция не имеет критических (стационарных) точек.
Интервалы монотонности.
Функция не имеет критических точек, поэтому интервалы монотонности будем рассматривать на ОДЗ.
интервал \((-\infty; 0)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-1) = -\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}} < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \((0;+\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(1) = -\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}} < 0\), на этом интервале функция убывает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку. Функция критических точек не имеет, поэтому и экстремумов нет.
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( -\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}})'= -\frac{e^{\frac{1}{x}}*(-\frac{1}{x^2}*x^2) - 2x e^{\frac{1}{x}}}{x^4} = $$$$ = e^{\frac{1}{x}} \frac{2x+1}{x^4} $$ Приравняем к нулю $$ e^{\frac{1}{x}} \frac{2x+1}{x^4} = 0 => x = -\frac{1}{2}$$ Анализируем выпуклость на ОДЗ с учетом точки возможного перегиба
интервал \((-\infty; -\frac{1}{2})\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-1) = e^{\frac{1}{x}} \frac{2x+1}{x^4} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((-\frac{1}{2}; 0)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-\frac{1}{4}) = e^{\frac{1}{x}} \frac{2x+1}{x^4} > 0 \), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал \((0; + \infty )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(1) = e^{\frac{1}{x}} \frac{2x+1}{x^4} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция имеет одну точку, в которой вторая производная равна нулю \(x =-\frac{1}{2}\)- точка возможного перегиба. Достаточным условием перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эту точку, рассмотрим эту точку
\(x =-\frac{1}{2}: \quad - \quad 0 \quad +\) вторая производная знак поменяла это точка перегиба. Найдем значение функции в этой точке \(f(-\frac{1}{2}) = e^{\frac{1}{x}} =\frac{1}{e^2}\).
Координаты точки перегиба \((-\frac{1}{2}; \frac{1}{e^2} )\)
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальную асимптоту \(x = 0\) (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у= e^{\frac{1}{x}} \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} = 0 => k= 0$$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ т.к. \(k = 0\) - наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$ \lim_{x \to +\infty}e^{\frac{1}{x}}= 1$$график функции стремится к 1.
Рассмотрим, с какой стороны график приближается к асимптоте.
Найдем предел разности уравнения функции и асимптоты
$$ \lim_{x \to +\infty}(e^{\frac{1}{x}} - 1) = 0+ $$ т.е. график функции приближается к асимптоте сверху.
$$ \lim_{x \to -\infty}(e^{\frac{1}{x}} - 1) = 0- $$ т.е. график функции приближается к асимптоте снизу.
Горизонтальная асимптота \(y = 1\).
9. График функции.
