Составим уравнения плоскости, которая проходит через прямую \(\frac{x-2}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z+3}{-2}\), перпендикулярно плоскости \(3x+y=0\)
Решение: для решения задачи воспользуемся формулой плоскости в координатной форме $$A(x-x_0)+B(x-x_0)+C(z-z_0) = 0$$ Нам необходимо найти коэффициенты \(A,B,C\), где \(N(A;B;C)\) - вектор, перпендикулярный данной плоскости (вектор нормали), \(x_0;y_0;z_0\) - координаты точки, принадлежащей этой плоскости.
1. Найдем две точки, принадлежащие искомой плоскости. Для этого есть прямая, которая лежит в этой плоскости.
координаты первой точки \(\frac{x-2}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z+3}{-2} = 0 => x=2;y=0;z=-3\), \(M_1(2;0;-3)\)
координаты второй точки \(\frac{x-2}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z+3}{-2} = 1 => x=3;y=2;z=-5\), \(M_2(3;2;-5)\)
2. Найдем координаты вектора \(\vec{M_1M_2}(3-2;2-0;-5+3)\) => \(\vec{M_1M_2}(1;2;-2)\)
3. Найдем координаты вектора, параллельного искомой плоскости.
Координаты получим из уравнения плоскости \(3x+y=0\). Координаты вектора нормали этой плоскости \(\vec{a}(3;1;0)\) - это и будет вектор, параллельный искомой плоскости.
4. Найдем вектор нормали искомой плоскости.
Для этого уже найдены вектор, принадлежащий искомой плоскости \(\vec{M_1M_2}\) и параллельный искомой плоскости \(\vec{a}(3;1;0)\).
Вектор нормали будем искать по формуле векторного произведения$$\vec{N} = \vec{M_1M_2}\times\vec{a} = \left|\begin{array}{c} i & j & k\\ 3 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -2\end{array}\right| = -2i +6k -k + 6j = -2i + 6j + 5k$$ Получили координаты вектора нормали искомой плоскости \(N(A;B;C)\) => \(N(-2;6;5)\)
5. Возвращаемся к формуле плоскости в координатной форме \(A(x-x_0)+B(x-x_0)+C(z-z_0) = 0\). Координаты вектора нормали уже найдены \(N(-2;6;5)\), координаты точки \((x_0;y_0;z_0)\) - координаты любой точки, принадлежащей искомой плоскости. Например это точка \(M_1(2;0;-3)\). Подставляем координаты в уравнение плоскости $$-2(x-2)+6(y-0)+5(z+3) = 0 => -2x+4+6y+5z+15 = 0 =>$$$$ -2x+6y+5z+19 = 0$$
Ответ: уравнение плоскости \(-2x+6y+5z+19 = 0\)
