Исследуем функцию \( y= \frac{(x-1)^2}{x^2+1} \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь): знаменатель не равен нулю, т.е. \(x^2+1 \ne 0 => \) ОДЗ $$D_f=(-\infty; +\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция не имеет точек разрыва.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \frac{(-x-1)^2}{(-x)^2+1} = \frac{(x+1)^2}{x^2+1}\) функция является ни четной, ни не четной.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \( \frac{(x-1)^2}{x^2+1} = 0 =>x = 1 \). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox в точке с координатами (1;0).
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox это \(x = 1\), т.е. два интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((-\infty; 1) \) найдем значение функции в любой точке \(f(0) = \frac{(x-1)^2}{x^2+1} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
интервал \((1; +\infty) \) найдем значение функции в любой точке \(f(2) = \frac{(x-1)^2}{x^2+1} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(f(0) = \frac{(x-1)^2}{x^2+1} = 1 \). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Oy в точке с координатами \((0;1)\).
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$ y' = ( \frac{(x-1)^2}{x^2+1} )'= \frac{2(x-1)(x^2+1) - (x-1)^2*2x}{(x^2+1)^2} = $$$$ = 2(x-1)\frac{(x^2+1) - x(x-1)}{(x^2+1)^2} = 2(x-1)\frac{x^2+1 - x^2+x}{(x^2+1)^2} = $$$$ = \frac{2(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2} = \frac{2(x^2-1)}{(x^2+1)^2}$$ приравняем к 0 $$ \frac{2(x^2-1)}{(x^2+1)^2} =0 => $$ функция имеет две критические (стационарные) точки \(x \pm 1\).
Найдем значение функции в этих точках
\(f(-1)= \frac{(x-1)^2}{x^2+1} = 2 \), получили координаты критической точки \((-1; 2)\)
\(f(1)= \frac{(x-1)^2}{x^2+1} = 0 \), получили координаты критической точки \((1; 0)\)
Интервалы монотонности.
Функция имеет две критические точки, они делят ось Ox на три интервала монотонности.
интервал \((-\infty; -1)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-2) = \frac{2(x^2-1)}{(x^2+1)^2} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
интервал \((-1; 1)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(0) = \frac{2(x^2-1)}{(x^2+1)^2} < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \(( 1; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(2) = \frac{2(x^2-1)}{(x^2+1)^2} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критической точки получаем:
\(x = -1\): \(\quad + \quad 0 \quad -\), т.е. функция имеет точку максимума с координатами \((-1; 2)\)
\(x = 1\) : \(\quad - \quad 0 \quad + \), т.е. функция имеет точку минимума с координатами \((1; 0)\)
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( \frac{2(x^2-1)}{(x^2+1)^2})'= 2\frac{2x(x^2+1)^2 - (x^2-1)2(x^2+1)2x}{(x^2+1)^4} = $$$$ = 4\frac{x(x^2+1) - (x^2-1)2x}{(x^2+1)^3} = 4\frac{x^3+x - 2x^3+2x}{(x^2+1)^3} = 4\frac{x(3- x^2)}{(x^2+1)^3}$$ Приравняем к нулю $$ 4\frac{x(3- x^2)}{(x^2+1)^3} = 0 => x = 0; x = -3; x = 3$$ точки возможного перегиба функции.
Рассмотрим выпуклость функции на ОДЗ с учетом точки возможного перегиба.
интервал \((-\infty; -3)\) найдем знак второй производной в любой точке \(f''(-4) = 4\frac{x(3- x^2)}{(x^2+1)^3} > 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал \((-3; 0 )\) найдем знак второй производной в любой точке \(f''(-1) = 4\frac{x(3- x^2)}{(x^2+1)^3} < 0\), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((0; 3 )\) найдем знак второй производной в любой точке \(f''(1) = 4\frac{x(3- x^2)}{(x^2+1)^3} > 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал \(( 3; + \infty )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(4) = 4\frac{x(3- x^2)}{(x^2+1)^3} < 0\), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
Точки перегиба.
Функция имеет три точки, в которых вторая производная равна нулю - точки возможного перегиба. Достаточным условие перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эти точки, рассмотрим эти точки
точка \(x = -3 \): \(\quad + \quad 0 \quad - \) вторая производная знак поменяла. Точка перегиба.
точка \(x = 0 \): \(\quad - \quad 0 \quad + \) вторая производная знак поменяла. Точка перегиба.
точка \(x = 3 \): \(\quad + \quad 0 \quad - \) вторая производная знак поменяла. Точка перегиба.
Найдем значение функции в точках перегиба
\(f( -3) = \frac{(x-1)^2}{x^2+1} = \frac{8}{5} \approx 1,6\)
\(f(0) = \frac{(x-1)^2}{x^2+1} = 1\)
\(f(3) = \frac{(x-1)^2}{x^2+1} = \frac{2}{5}\)
Координаты точек перегиба \((-3; \frac{8}{5})\); \((0; 1)\); \((3; \frac{2}{5})\).
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции вертикальной асимптоты не имеет (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(y = \frac{(x-1)^2}{x^2+1} \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty}\frac{(x-1)^2}{x(x^2+1)} = 0 => k= 0$$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ т.к. \(k = 0\) функция наклонной асимптоты не имеет.
Наклонной асимптоты нет
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его
$$ \lim_{x \to \infty}\frac{(x-1)^2}{x^2+1}= 1 $$
Уравнение горизонтальной асимптоты \(y= 1\).
Определим, с какой стороны приближается график функции к горизонтальной асимптоте, для этого найдем пределы:
$$ \lim_{x \to +\infty}(\frac{(x-1)^2}{x^2+1}-1) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2-2x+1-x^2-1}{x^2+1} = -0 $$ график функции приближается к асимптоте снизу
$$ \lim_{x \to -\infty}(\frac{(x-1)^2}{x^2+1}-1) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2-2x+1-x^2-1}{x^2+1} = +0 $$ график функции приближается к асимптоте сверху
9. График функции.
