Решение: найдем производную сложной функции \(y = \frac{\sin^2x}{\sin x^2}\).
1. Находим производную дроби, числитель которой \(\sin^2x\), а знаменатель \(\sin x^2\) - сложные функции. Производная дроби находится по формуле $$(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}$$ Применим эту формулу: $$(\frac{\sin^2x}{\sin x^2})' = \frac{(\sin^2x)'\sin x^2 - \sin^2x*(\sin x^2)'}{(\sin x^2)^2} \quad (1)$$
2. Найдем производную сложной функции \((\sin^2x)'\) по формуле производной сложной функции $$(f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x) \quad (2)$$
Внешней функцией является степенная функция с основанием \(\sin x\), согласно таблицы простейших производных, производная степенной функции равна \((x^a)' = ax^{a-1}\)
Внутренней функцией является тригонометрическая функция \(\sin x\). Согласно таблицы простейших производных, производная тригонометрической функции синус равна \((\sin x)' = \cos x\).
Подставляем результата в (2), получаем $$(\sin^2x)' = 2\sin x*\cos x$$
3. Найдем производную сложной функции \((\sin x^2)'\) по формуле (2).
Внешней функцией является тригонометрическая функция \(\sin x\), согласно таблицы простейших производных, производная тригонометрической функции синус равна \((\sin x)' = \cos x\).
Внутренней функцией является степенная функция \(x ^2\), согласно таблицы простейших производных, производная степенной функции равна \((x^a)' = ax^{a-1}\), т.е. \((x^2)' = 2x\)
Подставляем результата в (2), получаем $$(\sin x^2)' = \cos x^2*2x$$
4. Подставляем результат в производную дроби (1)
$$ \frac{(\sin^2x)'\sin x^2 - \sin^2x*(\sin x^2)'}{(\sin x^2)^2} = \frac{2\sin x*\cos x*\sin x^2 - \sin^2x*\cos x^2*2x}{(\sin x^2)^2} = $$$$= 2\sin x*\sin x^2 \frac{\cos x - x \sin x*ctg x^2}{(\sin x^2)^2} = 2\sin x \frac{\cos x - x \sin x*ctg x^2}{\sin x^2}$$
Ответ: \( (\frac{\sin^2x}{\sin x^2})' = 2\sin x \frac{\cos x - x \sin x*ctg x^2}{\sin x^2}\)
