Найдем предел: функции $$ \lim_{x \to \infty}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1} $$ без использования правила Лопиталя.
Данный вид заданий решается методом преобразований (в данном случае преобразование многочлена). Цель преобразований - выделить в числителе и знаменателе множители, которые при \(x \to \infty\) стремятся к \(\infty\) и сократить их, т.е. сократить члены, которые приводят к неопределенности вида \(\frac{\infty}{\infty}\)
Решение: в данном случае числитель и знаменатель дроби стремятся при \(x \to \infty\) стремятся к \(\infty\) т.к. к бесконечности стремятся многочлены числителя и знаменателя. При решении подобных примеров выносят из числителя и знаменателя переменную \(x\) в наибольшей степени. В данном случае наибольшая степень числителя 2, знаменателя 2. Наибольшая степень неизвестной числителя и знаменателя равны, поэтому выносим из числителя и знаменателя \(x^2\), получаем $$\lim_{x \to \infty}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2} \frac{1-\frac{1}{x^2}}{2-\frac{x}{x^2}-\frac{1}{x^2}} = $$$$ = \lim_{x \to \infty}\frac{1-\frac{1}{x^2}}{2-\frac{x}{x^2}-\frac{1}{x^2}} = $$ известно, что при \(\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty \), т.е. мы сократили множитель, который приводил к неопределенности при \(x \to \infty\). Находим предел $$ = \frac{1-\frac{1}{\infty}}{2-\frac{1}{\infty}-\frac{1}{\infty}} = \frac{1-0}{2-0-0} = \frac{1}{2}$$
Ответ: \(\lim_{x \to \infty}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1} = \frac{1}{2}\)
