Найдем предел $$\lim_{x \to 0} \frac{tg x - \sin x}{\sin 3x}$$ без использования правила Лопиталя.
Данный вид заданий решается методом преобразований (в данном случае тригонометрических). Цель преобразований - выделить в числителе и знаменателе множители, которые при \(x \to 0\) стремятся к 0 и сократить их, т.е. сократить члены, которые приводят к неопределенности вида \(\frac{0}{0}\)
Решение: подставим в формулу \(tg = \frac{\sin x}{\cos x}\) и формулу синуса тройного угла \(\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3x\), получаем $$\lim_{x \to 0} \frac{tg x - \sin x}{\sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \sin x}{3\sin x - 4\sin^3x} = $$ выносим \(\sin x\) из числителя и знаменатель и сокращаем его. Как известно \(\lim_{x \to 0} \sin x = 0 \), т.е. это и есть тот множитель, который приводит предел к неопределенности $$ = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\sin x}\frac{\frac{1}{\cos x} - 1}{3 - 4\sin^2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos x} - 1}{3 - 4\sin^2x} = $$ дальнейшие преобразования в данном примере проводить уже не нужно. Найдем предел $$= \frac{\frac{1}{\cos 0} - 1}{3 - 4\sin^20} = \frac{1 -1}{3 - 4*0} = 0$$
Ответ: \(\lim_{x \to 0} \frac{tg x - \sin x}{\sin 3x} = 0\)
