а) найти длину высоты \(АЕ\).
Даны три вершины треугольника А(-2, 1, 2) , В(-4, -5, 3), С(4, -2, 4). Найдем уравнение стороны \(BC\). Длиной высоты \(AE\) будет расстояние от точки \(A\) до прямой \(BC\).
Ищем уравнение прямой \(BC\) как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки \( \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}=t \quad (1) \) Подставляем координаты вершин:
уравнение стороны BC, при известных координатах вершины В(-4, -5, 3), С(4, -2, 4) $$BC \quad \frac{x+4}{4+4} = \frac{y+5}{-2+5} = \frac{z-3}{4-3} => \frac{x+4}{8} = \frac{y+5}{3} = \frac{z-3}{1} = t =>$$$$\frac{x+4}{8} = t; \frac{y+5}{3} = t; \frac{z-3}{1} =t => $$ получили уравнение прямой в параметрической форме $$x = 8t - 4; y = 3t - 5; z = t +3 $$
Расстояние от точки до прямой рассчитывается в координатной форму по формуле $$d = \frac{\sqrt{\left|\begin{array}{c}n & p \\ y_0 - y_1 & z_0 - z_1\end{array}\right|^2 + \left|\begin{array}{c}m & p \\ x_0 - x_1 & z_0 - z_1\end{array}\right|^2 + \left|\begin{array}{c}m & n \\ x_0 - x_1 & y_0 - y_1\end{array}\right|^2}}{\sqrt{m^2 + n^2 + p^2}} \quad (2)$$ где \(s = (m,n,p)\) - направляющий вектор, координаты которого берем из уравнения прямой \( \frac{x-x_1}{m}=\frac{y-y_1}{n}=\frac{z-z_1}{p}\), получаем \(m = 8; n = 3; p = 1\). Координаты \((x_0;y_0;z_0)\) - координаты точки А(-2, 1, 2) \((x_0 = -2;y_0 = 1;z_0 = 2)\), а координаты \((x_1;y_1;z_1)\) - координаты точки прямой BC. Выберем любое значение \(t\), пусть \(t =0\), получаем $$t = 0 \quad x = 8t - 4; y = 3t - 5; z = t +3 => x_1 = - 4; y_1 = - 5; z_1 = 3 $$
Подставляем в (2)
$$d = \frac{\sqrt{\left|\begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 +5 & 2 - 3\end{array}\right|^2 + \left|\begin{array}{c} 8 & 1 \\ -2 + 4 & 2 - 3\end{array}\right|^2 + \left|\begin{array}{c} 8 & 3 \\ -2 + 4 & 1 +5\end{array}\right|^2}}{\sqrt{8^2 + 3^2 + 1^2}} = $$$$= \frac{\sqrt{\left|\begin{array}{c} 3 & 1 \\ 6 & -1\end{array}\right|^2 + \left|\begin{array}{c} 8 & 1 \\ 2 & -1\end{array}\right|^2 + \left|\begin{array}{c} 8 & 3 \\ 2 & 6\end{array}\right|^2}}{\sqrt{8^2 + 3^2 + 1^2}} = $$$$= \frac{\sqrt{(-9)^2 + (-10)^2 + (42)^2}}{\sqrt{8^2 + 3^2 + 1^2}} = \frac{\sqrt{1945}}{\sqrt{74}} \approx 5,127$$
