Методом Гаусса
1.Проверяем систему уравнений на совместность. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Составим расширенную матрицу системы, приписав к матрице из коэффициентов системы \(A = \left(\begin{array}{c}1 &1 &-3\\ 2& 1& -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & -3 \end{array}\right)\) справа столбец свободных членов, получаем : \((A|b) = \left(\begin{array}{c} 3& 4 & 2\\ 2 & -1 & -3\\ 1 & 5 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 8 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right.\right) \)
Согласно теоремы Кронекера-Капелли система \(Ax=b\) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы \(rg(A|b)=rgA\)
Найдем ранг матрицы:
2. Используя элементарные преобразования над строками матрицы \((A|b)\) , приведем ее к ступенчатому виду,
для этого используем метод Гаусса.
Прямой ход метода Гаусса.
Нам необходимо выбрать ведущий элемент в первом столбце. Для простоты решения нужно чтобы он был равен 1. Т.е. первую строку можно разделить на 3, а можно поменять местами первую и третью строку, получим $$(A|b) = \left(\begin{array}{c} 1& 5 & 1\\ 2 & -1 & -3\\ 3 & 4 & 2 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0\\ -4 \\ 8 \end{array}\right.\right) $$ Берем в качестве ведущего элемента \(a_{11} = 1 \ne 0\).
Из второй строки вычтем первую строку, умноженную на \(2\)
\((A|b) = \left(\begin{array}{c}1& 5 & 1\\ 0 & -11 & -5\\ 3 & 4 & 2 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0\\ -4 \\ 8 \end{array}\right.\right) \sim \)
Аналогично из третьей строки вычтем первую, умноженную на \(3\), получим:
\( \left(\begin{array}{c}1& 5 & 1\\ 0 & -11 & -5\\ 0 & -11 & -1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0\\ -4 \\ 8 \end{array}\right.\right) \sim \)
В данном случае элементы \(a_22=a_23\), поэтому берем в качестве ведущего элемента \(a_{22} = -11 \ne 0\)
Из третьей строки вычитаем вторую
\( \left(\begin{array}{c}1& 5 & 1\\ 0 & -11 & -5\\ 0 & 0 & 4 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0\\ -4 \\ 12 \end{array}\right.\right) \sim \)
для упрощения дальнейших расчетов разделим третью строку на 4
\( \left(\begin{array}{c}1& 5 & 1\\ 0 & -11 & -5\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0\\ -4 \\ 3 \end{array}\right.\right) \sim \)
Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду.
3. Определим ранг матрицы
\(rgA = rg(A|b) = 3\) Согласно теоремы Кронекера-Капелли система совместна.
Так как система совместна, продолжаем ее решать методом Гаусса, приводим полученную матрицу \((\widetilde{A}|\widetilde{b})\) к упрощенному виду:
4. Обратный ход метода Гаусса.
Берем в качестве ведущего элемента \(a_{33} = 1 \ne 0\).
К второй строке прибавляем третью строку, умноженную на \(5\)
\( \left(\begin{array}{c}1& 5 & 1\\ 0 & -11 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0\\ 11 \\ 3 \end{array}\right.\right) \sim \)
вычтем из первой строки третью
\( \left(\begin{array}{c}1& 5 & 0\\ 0 & -11 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} -3\\ 11 \\ 3 \end{array}\right.\right) \sim \)
Разделим вторую строку на -11
\( \left(\begin{array}{c}1& 5 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} -3\\ -1 \\ 3 \end{array}\right.\right) \sim \)
вычтем из первой строки вторую, умноженную на 5
\( \left(\begin{array}{c}1& 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 2\\ -1 \\ 3 \end{array}\right.\right) \sim \)
Решением системы уравнений единственное и равно
\( \begin{cases} x_1 = 2 \\ x_2 = -1 \\ x_3 =3 \end{cases} \)
