Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Задана система лінійних рівнянь. Розвязати її двома способами: методом Гауса і методом Крамера


0 Голосов
Голубєва Мари
Posted Октябрь 1, 2014 by Голубєва Марина Сергіївна
Категория: Алгебра
Всего просмотров: 2770

Задана система лінійних рівнянь. Розвязати її двома способами: методом Гауса і методом Крамера: $$ \begin{cases} 3x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 8 \\ 2x_1 - x_2 - 3x_3 = -4 \\ x_1 + 5x_2 + x_3 = 0 \end{cases}$$

Теги: решить систему уравнений, метод Крамера, метод Гаусса

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Октябрь 1, 2014 by Вячеслав Моргун

Решим систему уравнений $$\begin{cases} 3x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 8 \\ 2x_1 - x_2 - 3x_3 = -4 \\ x_1 + 5x_2 + x_3 = 0 \end{cases}$$
Применим правило Крамера.
1.Составим матрицу системы из коэффициентов при неизвестных \(x_i\). При этом, если какого-то из неизвестных в уравнении не хватает, то на его место в соответствующем столбике ставим 0. Получили $$A =\left(\begin{array}{c}3& 4 & 2\\ 2 & -1 & -3\\ 1 & 5 & 1\end{array}\right)$$ Найдем определитель матрица \(A\), обозначается как \(Δ\). Если определитель \(Δ = det A \ne 0\) , то система имеет единственное решение, которое находится по формуле $$x_i = \frac{Δ_i}{Δ}$$ где \(i = 1,2, ... n\) , а \(Δ_i\) - определитель матрицы, полученный из матрицы системы путем замены \(i\) - го столбца столбцом свободных членов.


Находим определитель матрицы по правилу треугольника $$Δ = \det A =\left|\begin{array}{c}3& 4 & 2\\ 2 & -1 & -3\\ 1 & 5 & 1\end{array}\right| = -3 -12 + 20 + 2 + 45 - 8 = 44$$ Определитель \(Δ = 44 \ne 0\), т.е. система имеет единственное решение.
Найдем решение системы уравнений:
2. Подставим вместо первого столбца в определитель \(Δ\) столбец свободных членов и разделим на определитель матрицы \(Δ = 44\), получаем $$x_1 = \frac{1}{44} *\left|\begin{array}{c} 8& 4 & 2\\ -4 & -1 & -3\\ 0 & 5 & 1\end{array}\right|$$ Определитель находим по правилу треугольника, получаем $$x_1 = \frac{1}{44}(-8 - 40 + 120 + 16) = \frac{88}{44} = 2$$


3. Подставим вместо второго столбца в определитель \(Δ\) столбец свободных членов и разделим на определитель матрицы \(Δ = 44\), получаем $$x_2 = \frac{1}{44} *\left|\begin{array}{c}3& 8 & 2\\ 2 & -4 & -3\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right|$$ Определитель находим по правилу треугольника, получаем $$x_2 = \frac{1}{44} (-12 - 24 + 8 - 16) = \frac{-44}{44} = -1$$


4. Подставим вместо третьего столбца в определитель \(Δ\) столбец свободных членов и разделим на определитель матрицы \(Δ = 44\), получаем $$x_3 = \frac{1}{44} *\left|\begin{array}{c}3& 4 & 8\\ 2 & -1 & -4\\ 1 & 5 & 0\end{array}\right|$$ Определитель находим по правилу треугольника, получаем $$x_3 = \frac{1}{44} (-16 + 80 + 8 + 60) = \frac{132}{44} = 3$$ Получили три решения системы уравнений
Ответ: \(\left[\begin{array}{c}x_1=2 \\ x_2= -1 \\x_3 =3 \end{array}\right. \)


Другие ответы


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Октябрь 1, 2014 by Вячеслав Моргун

Решим систему уравнений $$\begin{cases} 3x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 8 \\ 2x_1 - x_2 - 3x_3 = -4 \\ x_1 + 5x_2 + x_3 = 0 \end{cases}$$ 


Методом Гаусса

1.Проверяем систему уравнений на совместность. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. 
Составим расширенную матрицу системы, приписав к матрице из коэффициентов системы \(A = \left(\begin{array}{c}1 &1 &-3\\ 2& 1& -2 \\ 1 &  1 & 1 \\ 3 & 2 & -3  \end{array}\right)\) справа столбец свободных членов, получаем : \((A|b) = \left(\begin{array}{c} 3& 4 & 2\\ 2 & -1 & -3\\ 1 & 5 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c}  8 \\  -4 \\ 0 \end{array}\right.\right) \)


Согласно теоремы Кронекера-Капелли система \(Ax=b\) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы \(rg(A|b)=rgA\)
Найдем ранг матрицы:
2. Используя элементарные преобразования над строками матрицы \((A|b)\) , приведем ее к ступенчатому виду, 
для этого используем метод Гаусса. 
Прямой ход метода Гаусса.

Нам необходимо выбрать ведущий элемент в первом столбце. Для простоты решения нужно чтобы он был равен 1. Т.е. первую строку можно разделить на 3, а можно поменять местами первую и третью строку, получим $$(A|b) = \left(\begin{array}{c} 1& 5 & 1\\ 2 & -1 & -3\\ 3 & 4 & 2 \end{array}\left|\begin{array}{c}  0\\  -4 \\ 8 \end{array}\right.\right) $$ Берем в качестве ведущего элемента \(a_{11} = 1 \ne 0\).

Из второй строки вычтем первую строку, умноженную на \(2\) 
\((A|b) = \left(\begin{array}{c}1& 5 & 1\\ 0 & -11 & -5\\ 3 & 4 & 2 \end{array}\left|\begin{array}{c}  0\\  -4 \\ 8  \end{array}\right.\right) \sim \)
Аналогично из третьей строки вычтем первую,  умноженную на \(3\), получим:
\(  \left(\begin{array}{c}1& 5 & 1\\ 0 & -11 & -5\\ 0 & -11 & -1 \end{array}\left|\begin{array}{c}  0\\  -4 \\ 8  \end{array}\right.\right) \sim \)
В данном случае элементы \(a_22=a_23\), поэтому берем в качестве ведущего элемента \(a_{22} = -11 \ne 0\) 
Из третьей строки вычитаем вторую 


\(  \left(\begin{array}{c}1& 5 & 1\\ 0 & -11 & -5\\ 0 & 0 & 4 \end{array}\left|\begin{array}{c}  0\\  -4 \\ 12  \end{array}\right.\right) \sim \)
для упрощения дальнейших расчетов разделим третью строку на 4
\(  \left(\begin{array}{c}1& 5 & 1\\ 0 & -11 & -5\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c}  0\\  -4 \\ 3  \end{array}\right.\right) \sim \)



Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду.
3. Определим ранг матрицы
\(rgA = rg(A|b) = 3\) Согласно теоремы Кронекера-Капелли система совместна.

Так как система  совместна, продолжаем ее решать методом Гаусса, приводим полученную матрицу \((\widetilde{A}|\widetilde{b})\) к упрощенному виду:

4. Обратный ход метода Гаусса. 
Берем в качестве ведущего элемента \(a_{33} = 1 \ne 0\).
К второй строке прибавляем третью строку, умноженную на \(5\)
\(  \left(\begin{array}{c}1& 5 & 1\\ 0 & -11 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c}  0\\  11 \\ 3  \end{array}\right.\right) \sim \)
вычтем из первой строки третью
\(  \left(\begin{array}{c}1& 5 & 0\\ 0 & -11 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c}  -3\\  11 \\ 3  \end{array}\right.\right) \sim \)
Разделим вторую строку на -11
\(  \left(\begin{array}{c}1& 5 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c}  -3\\  -1 \\ 3  \end{array}\right.\right) \sim \)
вычтем из первой строки вторую, умноженную на 5
\(  \left(\begin{array}{c}1& 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c}  2\\  -1 \\ 3  \end{array}\right.\right) \sim \)
Решением системы уравнений единственное и равно 

\( \begin{cases} x_1 = 2 \\ x_2 = -1 \\ x_3 =3 \end{cases} \)