Найдем интеграл: \int x^{-\frac{1}{2}}( 1 + x^\frac{1}{4})^\frac{1}{3}dx
Решение: в задании интеграл от биномиального дифференциала вида \int x^m(a+bx^n)^pdx будем решать применяя одну из подстановок Чебышева и сведем его к интегралу от рациональной функции.
1. Определим значения констант путем сравнения формулы задания с формулой интеграла от биномиального дифференциала m = -\frac{1}{2}; \quad a = 1; \quad b = 1; \quad n = \frac{1}{4}; \quad p = \frac{1}{3}. Проверим \frac{m+1}{n} = \frac{-\frac{1}{2}+1}{ \frac{1}{4}} = 2 получили целое число, т.е. имеем второй случай интегрированности биномиального дифференциала , т.е. нужно применить замену вида (вторая подстановка Чебышева) a+bx^n = t^kгде k - знаменатель дроби p, т.е. k = 3, получили замену 1 + x^\frac{1}{4} = t^3 => x = (t^3-1)^4 => dx = 4(t^3-1)^3*3t^2dt Подставляем замену в интеграл \int x^{-\frac{1}{2}}( 1 + x^\frac{1}{4})^\frac{1}{3}dx = \int (t^3-1)^{-2}*t*4(t^3-1)^3*3t^2dt = = 12 \int (t^3-1)t^3dt = 12 \int (t^6-t^3)dt = 12(\int t^6dt - \int t^3dt) = применяем формулу табличного интеграла степенной функции \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{x+1} + C, получаем = 12( \frac{1}{7}t^7 - \frac{1}{4}t^4) + C = \frac{12}{7}t^7 - 3t^4 + C применяем обратную замену 1 + x^\frac{1}{4} = t^3 => t = (1 + x^\frac{1}{4})^{\frac{1}{3}}, получаем = \frac{12}{7}(1 + x^\frac{1}{4})^{\frac{7}{3}} - 3(1 + x^\frac{1}{4})^{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{7}(1 + x^\frac{1}{4})^{\frac{4}{3}} (4(1 + x^\frac{1}{4}) - 7) + C = = \frac{3}{7}(1 + x^\frac{1}{4})^{\frac{4}{3}} (4x^\frac{1}{4} - 3) + C
Ответ: \int x^{-\frac{1}{2}}( 1 + x^\frac{1}{4})^\frac{1}{3}dx = \frac{3}{7}(1 + x^\frac{1}{4})^{\frac{4}{3}} (4x^\frac{1}{4} - 3) + C
