Найдем сумму ряда: \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(3n+1)(3n-2)}\)
Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых \(n\) слагаемых ряда, когда \(n\) неограниченно растёт. $$S_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{n=1}^{\infty} u_n $$
Рассмотрим два метода решения:
1. Найдем предел частичной суммы \(S_n = \frac{1}{1*4} + \frac{1}{4*7} + \frac{1}{7*10} + ... + \frac{1}{(3n+1)(3n-2)}\)
Т.к. общий член ряда - дробь, применим метод неопределенных коэффициентов, т.е. запишем общий член в виде суммы дробей $$ \frac{1}{(3n+1)(3n-2)} = \frac{A}{3n+1} + \frac{B}{3n-2} $$ найдем коэффициенты, приведем сумму двух дробей к общему знаменателю $$ \frac{1}{(3n+1)(3n-2)} = \frac{A(3n-2) + B(3n+1)}{(3n+1)(3n-2)}$$ две дроби с равными знаменателями равны, если равны их числители, т.е. получим $$1 = A(3n-2) + B(3n+1)$$ справа и слева равенства многочлены. Многочлены равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях неизвестных. Приравняем коэффициенты при \(n\) и свободные члены $$ \begin{array}{c}n^0 & | 1 = A - 2B \\ n^1 & | 0 = 3A +3B \end{array} $$ получили систему уравнений $$\begin{cases}1 = A - 2B \\0 = 3A +3B\end{cases}$$ решаем систему $$\begin{cases}1 = A - 2B \\0 = 3A +3B\end{cases} => \begin{cases}1 = -B - 2B \\ A = -B \end{cases} => \begin{cases}1 = -B - 2B \\ A = -B \end{cases} => \begin{cases} B = -\frac{1}{3} \\ A = \frac{1}{3} \end{cases}$$ Получили $$ \frac{1}{(3n+1)(3n-2)} = \frac{1}{3(3n+1)} - \frac{1}{3(3n-2)} = \frac{1}{3}(\frac{1}{3n+1} - \frac{1}{3n-2})$$ Получили $$S_n = \frac{1}{3}[(1 - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{10}) + (\frac{1}{10} - \frac{1}{13}) + (\frac{1}{13} - \frac{1}{16}) + ...+ (\frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+1})] = $$ при раскрытии скобок видно, что после сокращения остается первый и последний члены $$ = \frac{1}{3}(1 - \frac{1}{3n+1})$$ находим сумму числового ряда $$ S = \lim_{n \to \infty}S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3}(1 - \frac{1}{3n+1}) = \frac{1}{3}$$ Ответ: сумма ряда \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(3n+1)(3n-2)}\) равна $$S = \frac{1}{3}$$
2. Рассмотрим частичную сумму $$S_n = \frac{1}{1*4} + \frac{1}{4*7} + \frac{1}{7*10} + \frac{1}{10*13} + \frac{1}{13*16} + ... + \frac{1}{(3n+1)(3n-2)}$$, сложим первые два члена суммы \( \frac{1}{1*4} + \frac{1}{4*7} = \frac{8}{4*7} = \frac{2}{7} \), сложим результат и следующий член суммы
\( \frac{2}{7} + \frac{1}{7*10} = \frac{21}{7*10} = \frac{3}{10} \) можно продолжить суммирование дальше, но уже видно, что сумма будет равна $$S_n = \frac{n}{3n+1}$$ находим сумму числового ряда $$ S = \lim_{n \to \infty}S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{3n+1} = \frac{1}{3}$$ Ответ: сумма ряда \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(3n+1)(3n-2)}\) равна $$S = \frac{1}{3}$$
