1 Vote
|
 |
| Posted Апрель 3, 2013 by Вячеслав Моргун |
|
|
Суть метода математической индукции состоит в следующем (3 шага доказательства):
- первый шаг. Проверяем истинность равенства при \(n =1\) $$1 = 2^1 - 1 =>1 = 2-1 =>1=1 $$ часто бывает удобно проверять при \(n =2\), т.е. выбираем \(n\) при котором удобно и просто проверить равенство. Например при \(n=2\) равенство примет вид $$1+2 = 2^2-1 =>1+2=4-1=>3=3 $$
- второй шаг. Предполагаем, что при \(n = n\) данное равенство истинно $$1 + 2 + 2^2 +...+ 2^{n-1}=2^n - 1 \quad (1)$$
- третий шаг. Если докажем, что при \(n = n+1\) указанное равенство будет истинно, то истинность равенства при любых \(n\) доказана.
Доказательство: запишем равенство при \(n = n+1\)
$$1+2^1+2^2+...+2^{n-1}+2^{n+1-1} = 2^{n+1}-1 =>$$ в п.2 мы предположили истинность равенства, заменим первые \(n\) членов на их сумму (1) $$2^n - 1+2^{n+1-1} = 2^{n+1}-1 =>2*2^{n} -1 = 2^{n+1}-1 =>2^{n+1}-1 = 2^{n+1}-1$$равенство доказано, т.е. при любых \(n\) равенство истинно.
|
|
