Исследуем систему линейных уравнений на совместность.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
1. Составим расширенную матрицу системы,
приписав к матрице из коэффициентов системы \(A = \left(\begin{array}{c}1 &1 &-3\\ 2& 1& -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & -3 \end{array}\right)\) справа столбец свободных членов: \((A|b) = \left(\begin{array}{c}1 &1 &-3\\ 2& 1& -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & -3 \end{array}\left|\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right.\right) \)
Согласно теоремы Кронекера-Капелли система \(Ax=b\) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы \(rg(A|b)=rgA\)
Найдем ранг матрицы
2. Используя элементарные преобразования над строками матрицы \((A|b)\) , приведем ее к ступенчатому виду,
для этого используем метод Гаусса.
Прямой ход метода Гаусса. Берем в качестве ведущего элемента \(a_{11} = 1 \ne 0\).
Ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на \(-2\)
\((A|b) = \left(\begin{array}{c}1 &1 &-3\\ 2& 1& -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & -3 \end{array}\left|\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right.\right) \sim \left(\begin{array}{c}1 &1 &-3\\ 0& -1& 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & -3 \end{array}\left|\begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right.\right) \sim\)
Аналогично из третьей строки вычтем первую, а из четвертой вычтем первую, умноженную на \(3\), получим:
\( \left(\begin{array}{c}1 &1 &-3\\ 0& -1& 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & -3 \end{array}\left|\begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right.\right) \sim \left(\begin{array}{c}1 &1 &-3\\ 0& -1& 4 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & -1 & 6 \end{array}\left|\begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right.\right) \sim \)
Берем в качестве ведущего элемента \(a_{22} = -1 \ne 0\)
Из четвертой строки вычитаем вторую
\( \left(\begin{array}{c}1 &1 &-3\\ 0& -1& 4 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\left|\begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right.\right) \sim \)
разделим третью строку на 4, а четвертую на 2
\( \left(\begin{array}{c}1 &1 &-3\\ 0& -1& 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right.\right) \sim \)
Берем в качестве ведущего элемента \(a_{33} = 1 \ne 0\)
Из четвертой строки вычитаем третью строку
\( \left(\begin{array}{c}1 &1 &-3\\ 0& -1& 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\left|\begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right.\right) \sim \)
Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду.
3. Определим ранг матрицы
\(rgA = rg(A|b) = 3\) Согласно теоремы Кронекера-Капелли система совместна.
Так как система совместна, продолжаем ее решать методом Гаусса, приводим полученную матрицу \((\widetilde{A}|\widetilde{b})\) к упрощенному виду и находим решение системы:
4. Обратный ход метода Гаусса. Берем в качестве ведущего элемента \(a_{33} = 1 \ne 0\).
Из второй строки вычитаем третью строку, умноженную на \(4\)
\( \left(\begin{array}{c}1 &1 &-3\\ 0& -1& 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\left|\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right.\right) \sim \)
вторую строку складываем с первой строкой
\( \left(\begin{array}{c}1 &0 &-3\\ 0& -1& 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\left|\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right.\right) \sim \)
третью строку умножаем на \(3\) и складываем с первой строкой
\( \left(\begin{array}{c}1 &0 &0\\ 0& -1& 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\left|\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right.\right) \sim \)
и последнее - вторую строку умножим на \(-1\), получим
\( \left(\begin{array}{c}1 &0 &0\\ 0& 1& 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\left|\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right.\right) \)
переменный \(x,y,z\) - базисные. Решением системы уравнений единственное и равно
\( \begin{cases}x=1 \\ y =1 \\z =1 \end{cases} \)
