Решение: дискретная случайная величина \(X\) - число белых шариков среди трех наугад выбранных принимает целые значения \(X \in \text{{0,1,2,3}}\), запишем закон распределения случайной величины в виде таблицы:
$$ \begin{array}{|c|c|c|}\hline x_i& 0& 1& 2& 3 \\ \hline \\ p_i& & & & \\ \hline \end{array} $$
Найдем вероятности случайных величин. Для этого применим формулу гипергеометрического распределения:
$$P_m = \frac{C_M^mC_{N-M}^{n-m}}{C_N^n} \quad (1)$$ где
\(N\) - общее количество шаров,
\(M\) - количество белых шаров из общего количество шаров,
\(n\) - количество вытянутых шаров,
\(m\) - количество вытянутых белых шаров
Согласно условия задачи:
в ящике 5 белых и 7 черных шаров, т.е. \(N = 5+7=12\)
наугад вытягивается 3 шара \(n=3\)
всего в ящике \(M=5\) - белых шаров
среди вытянутых \(n=3\) шара могут быть белых \(m = 0;m=1;m=2,m=3\)
подставим данные в формулу \((1)\), где
в знаменателе \(C_N^n = C_{12}^3\) - количество выборок из 12 шаров по 3
в числителе произведение \(C_M^m = C_5^m\) - количество выборок из 5 белых шаров по \(m =0,m=1,m=2,m=3\) и
\(C_{N-M}^{n-m} = C_7^{3 -m}\) - количество выборок из 7 черных шаров по \(3-m \)
Рассмотрим каждый случай отдельно и найдем его вероятность:
1. вытянули \(m=0\) белых шаров
$$p_0 = \frac{C_5^0C_{7}^{3}}{C_{12}^3} = \frac{1*\frac{7!}{3!4!}}{\frac{12!}{9!3!}} =\frac{7!9!3!}{3!4!12!}=\frac{7}{44} = 0,159$$
2. вытянули \(m=1\) белый шар
$$p_1 = \frac{C_5^1C_{7}^{2}}{C_{12}^3} = \frac{\frac{5!}{1!4!}*\frac{7!}{2!5!}}{\frac{12!}{9!3!}}=\frac{5!7!9!3!}{1!4!2!5!12!}=\frac{21}{44} = 0,477$$
3. вытянули \(m=2\) белых шара
$$p_2 = \frac{C_5^2C_{7}^{1}}{C_{12}^3} =\frac{\frac{5!}{2!3!}*\frac{7!}{1!6!}}{\frac{12!}{9!3!}}=\frac{5!7!9!3!}{2!3!1!6!12!}=\frac{14}{44} = 0,318$$
4. вытянули \(m=3\) белых шара
$$p_3 = \frac{C_5^3C_{7}^{0}}{C_{12}^3} = \frac{\frac{5!}{3!2!}*1}{\frac{12!}{9!3!}}=\frac{5!9!3!}{3!2!12!}=\frac{2}{44} = 0,045$$
Проверяем результат: так как все события \(m = \text{{0,1,2,3}}\) (среди выбранных трех шаров было 0 или 1 или 2 или 3 белых) образуют полную группу событий, то сумма вероятностей должна быть равна 1, т.е. \(p_0 + p_1 + p_2 + p_3 = \frac{7}{44} + \frac{21}{44} + \frac{14}{44} + \frac{2}{44} = \frac{7+21+14+2}{44} = 1 \) расчеты проведены правильно, заполняем таблицу
$$ \begin{array}{|c|c|c|}\hline x_i& 0& 1& 2& 3 \\ \hline \\ p_i& \frac{7}{44} &\frac{21}{44} & \frac{14}{44} & \frac{2}{44} \\ \hline \end{array} $$
Найдем математическое ожидание
Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается по формуле
$$M(X) = x_1p_1 + x_2p_2 + ... + x_np_n = \sum_{k=1}^{n}x_kp_k$$
берем все данные из таблицы, получаем
$$M(X) = 0*\frac{7}{44} + 1*\frac{21}{44} + 2*\frac{14}{44} + 3*\frac{2}{44} = \frac{21+28+6}{44} = \frac{5}{4} = 1.25$$
Ответ: математическое ожидание \(M(X) = 1.25\)
