Решение: для исследования на сходимость ряда \(\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{1*4*..*(3n-2)}{7*9*..*(2n+5)} \),
применим алгоритм исследования знакопеременного ряда
1. исследуем ряд на абсолютную сходимость,
для этого составим ряд абсолютных величин \(\sum_{n=1}^\infty|(-1)^n\frac{1*4*..*(3n-2)}{7*9*..*(2n+5)}| = \sum_{n=1}^\infty\frac{1*4*..*(3n-2)}{7*9*..*(2n+5)}\) и применим признак Даламбера в предельной форме:
пусть задано числовой ряд \(a_1 + a_2 ... a_n ...\), если существует предел $$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$$ то при \( q < 1\) ряд сходится, при \( q > 1\) расходится, а при \( q=1\) требуются дополнительные исследования ряда.
Запишем общий член \(a_n = \frac{1*4*..*(3n-2)}{7*9*..*(2n+5)}\) и член \(a_{n+1} = \frac{1*4*..*(3(n+1)-2)}{7*9*..*(2(n+1)+5)} = \frac{1*4*..*(3n+1)}{7*9*..*(2n+7)}\)
Найдем предел $$\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1*4*..*(3n+1)}{7*9*..*(2n+7)}}{\frac{1*4*..*(3n-2)}{7*9*..*(2n+5)}} = \lim_{n \to \infty}\frac{1*4*..*(3n+1)}{7*9*..*(2n+7)} \frac{7*9*..*(2n+5)}{1*4*..*(3n-2)} = $$$$ = \lim_{n \to \infty}\frac{3n+1}{2n+7} = \frac{3}{2}$$ получили предел \( q < 1\), т.е. ряд расходится.
2. т.к. ряд абсолютных величин расходится, применим признак Лейбница, для дальнейшего исследования
Признак Лейбница: если \(a_n = (-1)^nb_b, \quad b_n \geq 0\) и последовательность \(b_n \) начиная с некоторого номера \(n_0\) монотонно стремится к нулю, то ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) сходится.
Применяем признак Лейбница
1) проверка на монотонное убывание
предположим, что члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине \(|a_n| > |a_{n+1}|\), проверяем:
$$\frac{1*4*..*(3n-2)}{7*9*..*(2n+5)} > \frac{1*4*..*(3(n+1)-2)}{7*9*..*(2(n+1)+5)} => $$$$ 1 > \frac{3n+1}{2n+7} = \frac{2n+7 + n -6 }{2n+7} = 1 + \frac{n - 6 }{2n+7}$$ получили ложное неравенство при \(n > 6\), т.е. ряд не является монотонно убывающим, т.о. ряд расходится согласно признака Лейбница
2) проверка на стремление к 0 члена ряда \(b_n\)
придел общего члена при \(n \to \infty\) равен 0 $$\lim_{n \to \infty} b_n = 0$$
Данный пункт проверять не нужно, т.к. не выполнился первый.
Ответ: ряд \( \sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{1*4*..*(3n-2)}{7*9*..*(2n+5)} \) расходится.
