Задание: Исследуем ряд \( \sum_{n=1}^\infty n^2 \sin^3(\frac{\pi}{\sqrt{n}}) \) на сходимость.
Решение:
необходимое условие сходимости: если ряд \(u_1+bu_2 + ... + u_n + ...\) сходится, то предел его общего члена при \(n \to \infty\) равен нулю \(\lim_{n \to \infty}u_n = 0\)
Проверяем: $$ \lim_{n \to \infty} n^2 \sin^3 \frac{\pi}{\sqrt{n}} = 0*\infty$$ Получили неопределенность вида \( 0*\infty\) преобразуем ее в неопределенности вида \( \frac{0}{0}\) или \( \frac{ \infty}{ \infty}\) и применим правило Лопиталя:
Правило Лопиталя: если \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}\), то $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
Преобразуем предел к неопределенности \( \frac{0}{0}\) $$ \lim_{n \to \infty} n^2 \sin^3 \frac{\pi}{\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sin^3 \frac{\pi}{\sqrt{n}}}{ \frac{1}{n^2}} = \frac{0}{0}$$ Получили необходимую неопределенность, применим правило Лопиталя.
Найдем производные числителя и знаменателя $$ \lim_{n \to \infty} \frac{\sin^3 \frac{\pi}{\sqrt{n}}}{ \frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{ (\sin^3 \frac{\pi}{\sqrt{n}})'}{ (\frac{1}{n^2})'} =$$$$ = \lim_{n \to \infty} \frac{ 3\sin^2(\frac{\pi}{\sqrt{n}})\cos(\frac{\pi}{\sqrt{n}})*(- \pi* \frac{1}{2n^{\frac{3}{2}}})}{ -\frac{2n}{n^4}}= $$$$ = \frac{3}{4}\pi \lim_{n \to \infty}\sin^2( \frac{\pi}{ \sqrt{n}})\cos( \frac{\pi}{ \sqrt{n}})*n^{ \frac{3}{2}} = $$ Найдем предел $$ = \frac{3}{4}\pi \lim_{n \to \infty}\cos(\frac{\pi}{\sqrt{n}}) \lim_{n \to \infty}\sin^2(\frac{\pi}{\sqrt{n}})*n^{\frac{3}{2}} =$$$$ = \frac{3}{4}\pi*1*\infty*0 $$ Приведем предел с неопределенностью \(0*\infty\) к неопределенности вида \(\frac{0}{0}\) и повторно применим правило Лопиталя $$ = \frac{3}{4}\pi \lim_{n \to \infty}\sin^2( \frac{\pi}{ \sqrt{n}})*n^{ \frac{3}{2}} = $$$$ = \frac{3}{4}\pi \lim_{n \to \infty} \frac{( \sin^2(\frac{\pi}{ \sqrt{n}}))'}{(\frac{1}{n^{ \frac{3}{2}}})'} = $$$$ = \frac{3}{4}\pi \lim_{n \to \infty} \frac{2\sin(\frac{\pi}{\sqrt{n}})\cos(\frac{\pi}{\sqrt{n}})*(- \pi* \frac{1}{2n^{\frac{3}{2}}})}{ - \frac{3}{2n^{\frac{5}{2}}}} = $$$$ = \frac{1}{2}\pi^2 \lim_{n \to \infty} \sin(\frac{\pi}{\sqrt{n}})\cos(\frac{\pi}{\sqrt{n}})* n = $$ предел \( \lim_{n \to \infty} \cos(\frac{\pi}{\sqrt{n}}) = 1\), поэтому ищем предел $$ = \frac{1}{2}\pi^2 \lim_{n \to \infty} \sin(\frac{\pi}{\sqrt{n}}) * n = 0*\infty$$ Последний раз приводим предел к неопределенности вида \( \frac{0}{0}\) и применим правило Лопиталя $$ = \frac{1}{2}\pi^2 \lim_{n \to \infty} \frac{(\sin(\frac{\pi}{\sqrt{n}}))'}{( \frac{1}{n})'} = $$$$ = \frac{1}{2}\pi^2 \lim_{n \to \infty} \frac{\cos(\frac{\pi}{\sqrt{n}})*(- \pi* \frac{1}{2n^{\frac{3}{2}}})}{ -\frac{1}{n^2}} = $$$$ = \frac{1}{2}\pi^3 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n^{\frac{3}{2}}}n^2=$$$$ = \frac{1}{4}\pi^3 \lim_{n \to \infty}n^{\frac{1}{2}} = \infty$$
Ответ: получили, что общий член стремится к \(\infty\), т.е. согласно необходимого условия сходимости ряд \( \sum_{n=1}^\infty n^2 \sin^3(\frac{\pi}{\sqrt{n}}) \) расходится.
