Решение: для исследования на сходимость ряда \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{1}{5n-2} \),
применим алгоритм исследования знакопеременного ряда
1. исследуем ряд на абсолютную сходимость,
для этого составим ряд абсолютных величин \( \sum_{n=1}^\infty |(-1)^{n-1}\frac{1}{5n-2}| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{5n-2} \), исследуем этот ряд на сходимость. Воспользуемся признаком сравнения рядов в форме неравенства $$\frac{1}{5n-2} = \frac{1}{5} \frac{1}{n-\frac{2}{5}} => \frac{1}{n} < \frac{1}{n-\frac{2}{5}} $$ Таким образом, для сравнения берем ряд \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \) это гармонический ряд, который расходится. Согласно признака сравнения: если расходится ряд с меньшими членами \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \), то расходится ряд с большими членами - ряд \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n-\frac{2}{5}} \) расходится, получили, что ряд \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{1}{5n-2} \) расходится.
2. т.к. ряд абсолютных величин расходится, применим признак Лейбница, для дальнейшего исследования
Признак Лейбница: если \(a_n = (-1)^nb_b, \quad b_n \geq 0\) и последовательность \(b_n\) начиная с некоторого номера \(n_0\) монотонно стремится к нулю, то ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) сходится.
Применяем признак Лейбница
1) проверка на монотонное убывание
предположим, что члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине \(|a_n| > |a_{n+1}|\), проверяем:
$$ \frac{1}{5n-2} > \frac{1}{5(n+1)-2} => \frac{1}{5n-2} > \frac{1}{5n+3} $$ получили истинное равенство, т.к. знаменатель дроби \(\frac{1}{5n+3}\) при всех значениях \(n\) больше знаменателя дроби \( \frac{1}{5n-2} \). Последовательность из членов ряда монотонно убывает.
2) проверка на стремление к 0 члена ряда \(b_n\)
придел общего члена при \(n \to \infty\) равен 0 $$\lim_{n \to \infty} b_n = 0$$ проверяем
$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{5n-2} = 0$$ согласно признака Лейбница ряд сходится, а с учетом п.1 сходится условно.
Ответ: ряд \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{1}{5n-2} \) сходится условно.
