Решение: для исследования на сходимость ряда, применим признак Даламбера в граничной форме:
пусть задано числовой ряд \(u_1 + u_2 ...\), если существует предел $$\lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} = l$$ то при \(l < 1\) ряд сходится, при \(l > 1\) расходится, а при \(l=1\) требуются дополнительные исследования ряда.
Найдем предел $$ \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{ (n+1+1)!}{5^{n+1}}}{\frac{ (n+1)!}{5^{n}}} = \lim_{n \to \infty}\frac{ (n+2)!}{5^{n+1}}*\frac{5^{n}}{(n+1)!} = $$$$ = \lim_{n \to \infty}\frac{n+2}{5} = \infty$$ получили предел \( l > 1\), т.е. ряд расходится.
Ответ: ряд \( \sum_{n=1}^\infty \frac{ (n+1)!}{5^{n}} \) расходится.
