Решение: рассмотрим уравнение $$ y'+2\frac{y}{x}=x^3 $$ это неоднородное линейное уравнение первого порядка, решать которое будем методом вариации независимой переменной.
Схема решения неоднородное линейное уравнение первого порядка.
1. Решаем однородное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $$y'+2\frac{y}{x} = 0 => \frac{dy}{dx} = -2\frac{y}{x}=> \frac{dy}{y} = -2\frac{dx}{x}$$ проинтегрируем обе части уравнения $$ \int \frac{dy}{y} =- \int 2\frac{dx}{x} => \ln(y) = -2\ln(x)+\ln(C) => $$$$ y = \frac{C}{x^2} \quad (1)$$
2. Представляем \(C = C(x)\).
Подставляем решение в дифференциальное уравнение и находим \(C(x)\)
находим производную $$y' = (\frac{C(x)}{x^2})' = \frac{C'(x)x^2 - 2xC(x)}{x^4} = \frac{C'(x)}{x^2} - 2\frac{C(x)}{x^3}$$ подставляем в дифференциальное уравнение $$ y'+2\frac{y}{x}=x^3 => \frac{C'(x)}{x^2} - 2\frac{C(x)}{x^3} + 2\frac{C(x)}{x^3} = x^3 =>$$$$ \frac{C'(x)}{x^2} = x^3 => C'(x) = x^5 =>$$ интегрируем обе части уравнения $$ \int dC(x) = \int x^{5}dx => C(x) = \frac{x^6}{6} + C_1$$
3. Получаем общее решение дифференциального уравнения, подставляем в (1)
$$ y = \frac{C(x)}{x^2} = \frac{\frac{x^6}{6} + C_1}{x^2} =>$$$$ y = \frac{x^4}{6} + \frac{C_1}{x^2}$$
Ответ: \( y = \frac{x^4}{6} + \frac{C_1}{x^2} \)
