Решение: согласно условия, фокусное расстояние \(с = 1\). Воспользуемся формулой,связывающей фокусное расстояние и длины полуосей \(a^2-c^2=b^2 => a^2 = b^2+c^2 => a^2 = b^2+1 \)
Каноническое уравнение эллипса имеет вид $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ Координаты точки \(M(\frac{3}{\sqrt{2}};-2)\), которая принадлежит эллипсу, подставим в уравнение эллипса, получаем $$\frac{(\frac{3}{\sqrt{2}})^2}{a^2} + \frac{2^2}{b^2} = 1 => \frac{9}{2(b^2+1)} + \frac{4}{b^2} = 1 =>$$$$\frac{9b^2 + 8(b^2+1)- 2(b^2+1)b^2 }{2(b^2+1)} =0 => 9b^2 + 8b^2+8- 2b^4 -2b^2 =0 =>$$$$15b^2+8- 2b^4 =0 => b^2_{1,2} = \frac{-15 \pm \sqrt{225 + 4*8*2}}{-2*2} =$$$$ = -\frac{-15 \pm 17}{4} => b^2 = 8 => b = 2\sqrt{2}$$Ответы я взял только положительные. Получим вторую полуось $$a^2 = b^2+1 => a =3$$
Подставляем полученные значения полуосей в каноническое уравнение эллипса $$\frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{(2\sqrt{2})^2} = 1$$
Ответ: уравнение эллипса \(\frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{(2\sqrt{2})^2} = 1\)
