функции z=z(x,y),неявно заданной уравнением $F(x,y,z)=0$,найти $d^2z$ в точке $М (x_0,y_0)$,

Решение: согласно задания, нужно найти дифференциал второго порядка $d^2z$ функции, заданной неявно, в точке.
Дифференциал второго порядка находится по формуле $$d^2z = \frac{\partial^2z}{\partial x^2}dx^2 + 2\frac{\partial^2z}{\partial x \partial y}dxdy + \frac{\partial^2z}{\partial y^2}dy^2 \quad (1)$$
1. Найдем частные производные первого порядка функции $z(x,y)$ заданной неявно.
Найдем частные производные функции двух переменных $z(x,y)$, которая заданна равенством $F(x,y,z) = 0$ (неявно заданна), где $F(x,y,z)$ - дифференцируемая функция переменных $x,y,z$ и $F'(x,y,z) \ne 0$.
Вычислим частные производные функции по формулам $$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F'_x(x,y,z)}{F'_z(x,y,z)}$$ где
$F'_x$ - частная производная функции $F(x,y,z)$ по $x$ - независимая переменная, а $y,z$ - константы $$F'_x  = (-y^2+yx+6yz+2x^2-3xz-z^2-8)'_x = y+4x-3z$$
$F'_y$ - частная производная функции $F(x,y,z)$ по $y$ - независимая переменная, а $x,z$ - константы $$F'_y  = (-y^2+yx+6yz+2x^2-3xz-z^2-8)'_y = -2y+x+6z$$
$F'_z$ - частная производная функции $F(x,y,z)$ по $z$ - независимая переменная, а $x,y$ - константы $$F'_z  = (-y^2+yx+6yz+2x^2-3xz-z^2-8)'_z = 6y-3x-2z$$
получили частные производные $$z'_x = \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y+4x-3z}{6y-3x-2z}$$ $$z'_y = \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{-2y+x+6z}{6y-3x-2z}$$
2. Найдем частные производные второго порядка функции $z(x,y)$.
$$\frac{\partial^2z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x}) = (z'_x)'_x = (-\frac{y+4x-3z}{6y-3x-2z})'_x =$$ $$=-\frac{(4-3z'_x)(6y-3x-2z) - (y+4x-3z)(-3-2z'_x)}{(6y-3x-2z)^2}$$
$$\frac{\partial^2z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial y}) = (z'_y)'_y = (-\frac{-2y+x+6z}{6y-3x-2z})'_y =$$ $$= -\frac{(-2+6z'_y)(6y-3x-2z) - (-2y+x+6z)(6-2z'_y)}{(6y-3x-2z)^2}$$
$$\frac{\partial^2z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x}) = (z'_x)'_y = (-\frac{y+4x-3z}{6y-3x-2z})'_y =$$ $$= -\frac{(1-3z'_y)(6y-3x-2z) - (y+4x-3z)(6-2z'_y)}{(6y-3x-2z)^2}$$
Подставляем результат в (1)
$$d^2z = -\frac{(4-3z'_x)(6y-3x-2z) - (y+4x-3z)(-3-2z'_x)}{(6y-3x-2z)^2}dx^2 -$$ $$2\frac{(1-3z'_y)(6y-3x-2z) - (y+4x-3z)(6-2z'_y)}{(6y-3x-2z)^2}dxdy  -$$ $$-\frac{(-2+6z'_y)(6y-3x-2z) - (-2y+x+6z)(6-2z'_y)}{(6y-3x-2z)^2}dy^2$$
3. Найдем значений дифференциала второго порядка функции $z(x,y)$ с координатами $(x_0=0;y_0=3;z_0=1)$.
Найдем значения частных производных первого порядка в точке
$$z'_x(0;3;1) = -\frac{y+4x-3z}{6y-3x-2z} = -\frac{3+4*0-3*1}{6*3-3*0-2*1} = 0$$
$$z'_y(0;3;1) = -\frac{-2y+x+6z}{6y-3x-2z} = -\frac{-2*3+0+6*1}{6*3-3*0-2*1} = 0$$
Найдем значения частных производных второго порядка в точке $$\frac{\partial^2z}{\partial x^2} = -\frac{(4-3z'_x)(6y-3x-2z) - (y+4x-3z)(-3-2z'_x)}{(6y-3x-2z)^2} =$$ $$=-\frac{4(6*3-3*0-2*1) - (3+4*0-3*1)(-3)}{(6*3-3*0-2*1)^2} = -\frac{1}{4}$$
$$\frac{\partial^2z}{\partial y^2} = -\frac{(-2+6z'_y)(6y-3x-2z) - (-2y+x+6z)(6-2z'_y)}{(6y-3x-2z)^2} =$$ $$= -\frac{(-2+6*0)(6*3-3*0-2*1) - (-2*3+0+6*1)(-3-2*0)}{(6*3-3*0-2*1)^2} = \frac{1}{8}$$
$$\frac{\partial^2z}{\partial x \partial y} = -\frac{(1-3z'_y)(6y-3x-2z) - (y+4x-3z)(6-2z'_y)}{(6y-3x-2z)^2} =$$ $$=-\frac{(1-3*0)(6*3-3*0-2*1) - (3+4*0-3*1)(6-2*0)}{(6*3-3*0-2*1)^2} = -\frac{1}{16}$$
Подставляем результат в (1)
$$d^2z = -\frac{1}{4}dx^2 - 2\frac{1}{16}dxdy  + \frac{1}{8}dy^2$$
Ответ: дифференциал второго порядка в точке равен $d^z(0;3) = -\frac{1}{4}dx^2 - \frac{1}{8}dxdy  + \frac{1}{8}dy^2$

спасибо огромное