Данный вид уравнений решается методом замены с выделением полного квадрата двучлена. Вспомним формулу сокращенного умножения
$$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ в задании видно, что \( x^2 + \frac{1}{x^2}\) - неполный квадартный двучлен следующего двучлена \((x+\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2*x*\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \Rightarrow (x+\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}\). С учетом этого запишем исходное уравнение. $$ x^2 +2 -2 + \frac{1}{x^2} + 2(x+\frac{1}{x}) = 6 \Rightarrow$$ $$ (x + \frac{1}{x})^2 -2 + 2(x+\frac{1}{x}) = 6 \Rightarrow $$ $$ (x + \frac{1}{x})^2 + 2(x+\frac{1}{x}) - 8 = 0 \Rightarrow $$ произведем замену \( x+\frac{1}{x} = t \) для того, чтобы получить обычное квадартное уравнение и найдем его корни $$ t^2 + 2t -8 = 0 $$
$$ t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4*1*(-8)}}{2} \Rightarrow$$ $$ t_{1,2} = \frac{-2 \pm 6}{2} \Rightarrow$$
$$ t_{1} = 2; t_{2} = -4$$ подставим полученный значения в формулу замены и найдем x $$ \left\{ \begin{array} \\ x + \frac{1}{x} = 2 \\ x + \frac{1}{x} = -4 \\ \end{array} \right. \Rightarrow$$ $$ \left\{ \begin{array} \\ \frac{x^2 -2x +1}{x} = 0 \\ \frac{x^2 +4x+1}{x} = 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow$$ $$ \left\{ \begin{array} \\ x^2 -2x +1 = 0 \\ x^2 +4x+1 = 0 \\ x \neq 0 \end{array} \right. \Rightarrow$$ $$ \left\{ \begin{array} \\ x_{1} = 1 \\ x_{2,3} = \frac{-4 \pm \sqrt{16-4*1}}{2} \\ x \neq 0 \end{array} \right. \Rightarrow$$ $$ \left\{ \begin{array} \\ x_{1} = 1 \\ x_{2,3} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} \\ x \neq 0 \end{array} \right. \Rightarrow$$ $$ \left\{ \begin{array} \\ x_{1} = 1 \\ x_{2,3} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} \\ x \neq 0 \end{array} \right. \Rightarrow$$ $$ \left\{ \begin{array} \\ x_{1} = 1 \\ x_{2,3} = -2 \pm \sqrt{3} \\ x \neq 0 \end{array} \right. \Rightarrow$$ $$ \left\{ \begin{array} \\ x_{1} = 1 \\ x_{2} = -2 + \sqrt{3} \\ x_{3} = -2 - \sqrt{3} \\ x \neq 0 \end{array} \right. $$
