Задача 1
Сколько натуральных чисел от 1 до 10000 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5, ни на 9?
Очевидно, что если число не делится на 2, то оно не будет делится на 4. Поэтому число 4 в условии можно просто опустить.
Заметим, что на 2 делится каждое второе натуральное число, на 5 - каждое пятое, на 9 - каждое девятое, на 2 и 5 - каждое десятое и т.д. Воспользуемся формулой включений и исключений, обозначив искомое число через М, а через [а] будем обозначать целую часть числа а. Получим:
$$M = 10000 - [\frac{10000}{2}] - [\frac{10000}{5}] - [\frac{10000}{9}] + [\frac{10000}{10}] + [\frac{10000}{18}] + [\frac{10000}{45}] - [\frac{10000}{90}] = $$
$$ = 10000 - 5000 - 2000 - 1111 + 1000 +555 + 222 - 111 = 3555$$
Ответ: 3555 чисел.
Задача 2
Подсчитать количество различных перестановок цифр числа 123132, при которых никакие 2 одинаковые цифры не идут друг за другом.
Общее количество различных перестановок цифр числа 123132 равно $$P(2,2,2) = \frac{6!}{2!*2!*2!} = \frac{720}{8} = 90$$
Если две какие-то одинаковые цифры стоят рядом, мы можем считать эту двойную цифру единым символом. Тогда количество перестановок, содержащих этот символ, равно $$P(2,2,1) = \frac{5!}{2!*2!*1!} = \frac{120}{4} = 30$$
Заметим, что количество таких случаев равно $$C_3^1 = 3$$
Аналогично, количество перестановок, в которых присутствуют пара двойных символов, равно $$P(2,1,1) = \frac{4!}{2!*1!*1!} = \frac{24}{2} = 12$$ количество таких случаев равно $$C_3^2 = 3$$ а общее число перестановок, образованных парами одинаковых цифр, равно $$P(1,1,1) = 3! = 6$$
В итоге, применяя формулу включений и исключений, будем иметь: $$90 - 3*30 +3*12 - 6 = 30$$
Ответ: 30 перестановок.
Задача 3
Сколько существует перестановок 9 различных предметов, при которых на своих первончальных местах окажутся ровно 2 или ровно 6 предметов?
Количество различных перестановок девяти предметов, при которых на своих первоначальных местах окажутся ровно 2 предмета, ровно $$D_{9,2}$$ а количество различных перестановок девяти предметов, при которых на своих первоначальных местах окажутся ровно 6 предметов, ровно $$D_{9,6}$$ Применяя правило суммы, а так же формулу для вычисления $$D_{n,k}$$ имеем:
$$D_{9,2} + D_{9,6} = C_9^2D_{7} + C_9^6D_{3} =$$
$$ = \frac{9!}{2!*7!}*7!*(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}-\frac{1}{7!})+\frac{9!}{6!*3!}*3!(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}) =$$
$$ = \frac{9!}{7!*2!}*1854 + \frac{9!}{6!*2!}*2 = 66912$$
