Завдання: Знайдіть значення параметра \(a\), при якому корінь рівняння $$\mbox{lg}(\sin5\pi x)=\sqrt{16+a-x}$$належить проміжку \((1;\frac{3}{2})\).
Рішення: все уравнения нужно начинать с ОДЗ. Проанализируем области определения и области значения всех функций в уравнении.
В правой части уравнения находится корень, т.е. \( \sqrt{16+a-x} \geq 0 => \)значения функции так же \(\mbox{lg}(\sin5\pi x) \geq 0\). Мы определили, что логарифм больше или равен 0, а теперь рассмотрим при каких значениях аргумента это возможно. В данном случае аргументом является функция \(\sin(5\pi x)\). Рассмотрим рисунок с графиком функции логарифма.
Видим, что логарифм больше или равен 0 при значениях аргумента \(\sin(5\pi x) \geq 1\), но мы помним, что областью значения \(E_{\sin} = [-1;1]\), т.е. мы получили, что есть единственное значение аргумента \(\sin(5\pi x) = 1\) при котором логарифм больше или равен 0 (в данном случае только равен). Из полученного равенства найдем \(x\) $$ \sin(5 \pi x) = 1 => 5 \pi x = \frac{\pi}{2} \pm 2 \pi n => x = \frac{1}{10} \pm \frac{2}{5}n, \quad n \in Z $$ По условию задачи известно, что \( x \in (1; \frac{3}{2}) \). Подставим значения \(n\) и найдем \(x\) попадающий в указанные промежуток $$n=2, x = \frac{1}{10} + \frac{2}{5}*2 = 0,9$$$$n=3, x = \frac{1}{10} + \frac{2}{5}*3 = 1,3$$$$n=4, x = \frac{1}{10} + \frac{2}{5}*4 = 1,7$$Вывод, в интервал попало только одно значение \(x = 1,3\)
Теперь вернемся к уравнению и продолжим его решение. Учтем, что слева \(\mbox{lg}(\sin5\pi x) =0\), получим $$\sqrt{16+a-x} = 0 => 16+a-x = 0$$Подставим значение \(x=1,3\) $$16+a-1,3 =0 =>a = -14,7 $$
Відповідь: \(a = -14,7\)
