Метод рационализации при решении неравенств с показательными функциями.

В предыдущем блоге Метод рационализации при решении логарифмических неравенств мы рассматривали решение логарифмических неравенств, сейчас рассмотрим метод рационализации при решении неравенства с показательными функциями. Т.к. логарифмическая функция и показательная функция взаимно обратные, то метод сведения  неравенства  с показательными функциями к системе рациональных неравенств такой же как и у логарифмических неравенств. Рассмотрим этот метод.

Рассмотрим показательное неравенство вида

$$a(x)^{f(x)} \geq a(x)^{g(x)}$$ где $a(x); f(x); g(x)$,  - некоторые функции. Рассмотрим сначала традиционный метод, а затем метод рационализации, его преимущества и применение на конкретном примере.

Традиционный метод: традиционное решение такого неравенства приводит к двум случаям.

1. $0 < a(x)$


2. $a(x) > 1$ основание степени больше единицы, знак неравенства сохраняется $f(x) > g(x)$

Как видим традиционный метод несколько громоздкий, поэтому для решения подобных неравенств используют метод рационализации. Рассмотрим его подробнее.
Метод рационализации при решении неравенств с показательными функциями: неравенство $a(x)^{f(x)} \geq a(x)^{g(x)}$ сводится к решению системы неравенств в состоящей из ОДЗ показательной функции $a(x) > 0; a(x) \ne 1$ и дополнительного неравенства

$$(a(x) -1)(f(x)-g(x)) \geq 0$$ это неравенство и является сутью данного метода, оно в себе содержит сразу два случая, которые рассматриваются при традиционном методе:

1. основание показательной функции $0 < a(x) < 1$  =>  $a(x) -1 < 0$, тогда разность многочленов  $f(x) - g(x) < 0$ ("-"*"-" > 0), т.е. логарифм убывающая функция и мы пришли к истинному неравенству $f(x) - g(x) < 0$,т.е. большему значению $x$ соответствует меньшее значение функции.


2. основание показательной функции $a(x) > 1$  => $a(x) -1 > 0$, тогда разность многочленов  $f(x) - g(x) > 0$ ("+"*"+" > 0) т.е. логарифм возрастающая функция и мы пришли к истинному неравенству $f(x) - g(x) > 0$,т.е. большему значению $x$ соответствует меньшее значение функции.

Рассмотрим применение метода на следующем примере :

$$(x^2-1)^{x+3} < (x^2 -1)^{2x-4}$$ составим систему уравнений, в составе ОДЗ $x^2-1 \ne 1$ и $x^2-1 > 0$, и добавим основное неравенство $(a(x) -1)(f(x)-g(x)) > 0  => (x^2-1-1)(2x-4-x-3) >0$. Обращаю внимание на то, что в задании строгое неравенство, поэтому в основное неравенство мы ставим также знак строго больше (меньше). Получили $$\begin{cases}x^2-1 \ne 1\\x^2-1 > 0 \\  (x^2-1-1)(2x-4-x-3) >0\end{cases} => \begin{cases}x \ne \pm \sqrt 2\\ |x| > 1 \\  (x^2-2)(x-7) >0\end{cases} =>$$ $$\begin{cases}x \ne \pm \sqrt 2\\ x \in (-\infty;-1) \cup (1;+\infty)\\  (x-\sqrt 2)(x+\sqrt 2)(x-7) >0\end{cases} =>  \begin{cases}x \ne \pm \sqrt 2\\ x \in (-\infty;-1) \cup (1;+\infty)\\  x \in (-\sqrt 2; \sqrt2) \cup (7;+\infty)\end{cases} =>$$ $$x \in (-\sqrt 2;-1) \cup (7;+\infty)$$