В предыдущем блоге Метод рационализации при решении логарифмических неравенств мы рассматривали решение логарифмических неравенств, сейчас рассмотрим метод рационализации при решении неравенства с показательными функциями. Т.к. логарифмическая функция и показательная функция взаимно обратные, то метод сведения неравенства с показательными функциями к системе рациональных неравенств такой же как и у логарифмических неравенств. Рассмотрим этот метод.
Рассмотрим показательное неравенство вида $$a(x)^{f(x)} \geq a(x)^{g(x)}$$ где \(a(x); f(x); g(x)\), - некоторые функции. Рассмотрим сначала традиционный метод, а затем метод рационализации, его преимущества и применение на конкретном примере.
Традиционный метод: традиционное решение такого неравенства приводит к двум случаям.
- \(0 < a(x)\)
- \(a(x) > 1 \) основание степени больше единицы, знак неравенства сохраняется \(f(x) > g(x)\)
Как видим традиционный метод несколько громоздкий, поэтому для решения подобных неравенств используют метод рационализации. Рассмотрим его подробнее.
Метод рационализации при решении неравенств с показательными функциями: неравенство \(a(x)^{f(x)} \geq a(x)^{g(x)}\) сводится к решению системы неравенств в состоящей из ОДЗ показательной функции \(a(x) > 0; a(x) \ne 1\) и дополнительного неравенства $$(a(x) -1)(f(x)-g(x)) \geq 0$$это неравенство и является сутью данного метода, оно в себе содержит сразу два случая, которые рассматриваются при традиционном методе:
- основание показательной функции \( 0 < a(x) < 1\) => \(a(x) -1 < 0 \), тогда разность многочленов \(f(x) - g(x) < 0 \) ("-"*"-" > 0), т.е. логарифм убывающая функция и мы пришли к истинному неравенству \(f(x) - g(x) < 0 \),т.е. большему значению \(x\) соответствует меньшее значение функции.
- основание показательной функции \( a(x) > 1\) => \(a(x) -1 > 0 \), тогда разность многочленов \(f(x) - g(x) > 0 \) ("+"*"+" > 0) т.е. логарифм возрастающая функция и мы пришли к истинному неравенству \(f(x) - g(x) > 0 \),т.е. большему значению \(x\) соответствует меньшее значение функции.
Рассмотрим применение метода на следующем примере : $$(x^2-1)^{x+3} < (x^2 -1)^{2x-4}$$ составим систему уравнений, в составе ОДЗ \(x^2-1 \ne 1\) и \(x^2-1 > 0\), и добавим основное неравенство \((a(x) -1)(f(x)-g(x)) > 0 => (x^2-1-1)(2x-4-x-3) >0\). Обращаю внимание на то, что в задании строгое неравенство, поэтому в основное неравенство мы ставим также знак строго больше (меньше). Получили $$\begin{cases}x^2-1 \ne 1\\x^2-1 > 0 \\ (x^2-1-1)(2x-4-x-3) >0\end{cases} => \begin{cases}x \ne \pm \sqrt 2\\ |x| > 1 \\ (x^2-2)(x-7) >0\end{cases} => $$$$ \begin{cases}x \ne \pm \sqrt 2\\ x \in (-\infty;-1) \cup (1;+\infty)\\ (x-\sqrt 2)(x+\sqrt 2)(x-7) >0\end{cases} => \begin{cases}x \ne \pm \sqrt 2\\ x \in (-\infty;-1) \cup (1;+\infty)\\ x \in (-\sqrt 2; \sqrt2) \cup (7;+\infty)\end{cases} => $$$$ x \in (-\sqrt 2;-1) \cup (7;+\infty) $$
