Метод рационализации при решении логарифмических неравенств

Рассмотрим примеры сведения логарифмических неравенств , у которых основание, выражение под знаком логарифма являются многочленами. Такие неравенства можно свести к дробно-рациональным или рациональным. Данный метод более компактными по сравнению с традиционными. Рассмотрим традиционный метод и сравним его с методом рационализации, в чем его отличие и эффективность при решении неравенств.
Традиционный метод: рассмотрим неравенство

$$\log_{a(x)}f(x) > \log_{a(x)}g(x)$$ где $a(x);f(x);g(x)$ - некоторые функции. При решении традиционным методом необходимо рассмотреть два случая

1. основание логарифма $0 < a(x) < 1$, логарифм является монотонно убывающей функцией, поэтому при переходе к рассмотрению аргументов знак неравенства меняется на противоположный $f(x) < g(x)$


2. основание логарифма $a(x) > 1$, логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому при переходе к рассмотрению аргументов знак неравенства остается без изменения $f(x) > g(x)$

Как видим традиционный метод несколько громоздкий, поэтому для решения подобных неравенств используют метод рационализации. Рассмотрим его подробнее.
Метод рационализации при решении логарифмических неравенств: неравенство $\log_{a(x)}f(x) > \log_{a(x)}g(x)$ сводится к решению системы неравенств в которую мы напишем ОДЗ логарифмических функций $a(x) > 0; a(x) \ne 1$, а также $f(x) > 0 ; g(x) >0$ и допишем неравенство

$$(a(x) -1)(f(x)-g(x)) \geq 0$$ это неравенство и является сутью данного метода, оно в себе содержит сразу два случая, которые рассматриваются при традиционном методе:

1. основание логарифма $0 < a(x) < 1$, тогда $a(x) -1 < 0$, тогда разность многочленов  $f(x) - g(x) < 0$ ("-"*"-" > 0), т.е. логарифм убывающая функция и мы пришли к истинному неравенству $f(x) - g(x) < 0$,т.е. большему значению $x$ соответствует меньшее значение функции.


2. основание логарифма $a(x) > 1$, тогда $a(x) -1 > 0$, тогда разность многочленов  $f(x) - g(x) > 0$ ("+"*"+" > 0) т.е. логарифм возрастающая функция и мы пришли к истинному неравенству $f(x) - g(x) > 0$,т.е. большему значению $x$ соответствует меньшее значение функции.

Рассмотрим применение метода на следующем примере :

$$\begin{cases}\frac{2^{x+1}+31}{32-2^x} \geq 1\\ \log_{(x-1)^2}(x+5)\leq 1\end{cases}$$ запишем ОДЗ обоих неравенств, для первого: знаменатель не равен 0 $32-2^x \ne 0$, для второго: основание больше 0 и не равно 1 $(x-1)^2 > 0; (x-1)^2 \ne 1$, а так же многочлен под знаком логарифма $x+5 >0$. Составим систему неравенств для ОДЗ $$\begin{cases}32-2^x \ne 0\\(x-1)^2 > 0 \\ (x-1)^2 \ne 1 \\ x+5 >0 \end{cases} =>\begin{cases}32 \ne 2^x\\ x \ne 1 \\ x^2 -2x + 1 \ne 1 \\ x >-5 \end{cases} =>$$ $$\begin{cases}2^5 \ne 2^x\\ x \ne 1 \\ x(x -2) \ne 0 \\ x >-5 \end{cases} => \begin{cases}x \ne 5\\ x \ne 1 \\ x \ne 0; x \ne 2 \\ x >-5 \end{cases}$$ а теперь приступаем к решению системы неравенств, неравенство с логарифмами заменим на произведение $(x-1)^2 -1$ - основание минус 1, а второй множитель - разность аргумента большего логарифма минус аргумент меньшего логарифма, для этого представим $\log_{(x-1)^2}(x-1)^2 = 1$, получим $\log_{(x-1)^2}(x+5) \leq \log_{(x-1)^2}(x-1)^2$, а теперь получим второй множитель $(a(x)-1)(f(x)-g(x)$ $((x-1)^2-1)*((x-1)^2-x-5)$. Подставим в систему неравенств $$\begin{cases}\frac{2^{x+1}+31}{32-2^x} \geq 1\\ \log_{(x-1)^2}(x+5)\leq \log_{(x-1)^2}(x-1)^2\end{cases} =>\begin{cases} \frac{2^{x+1}+31}{32-2^x} -1 \geq 0 \\ ((x-1)^2-1)((x-1)^2-(x+5))\geq 0\end{cases} =>$$ $$\begin{cases} \frac{2*2^{x}+31 - 32 +2^x}{32-2^x} \geq 0 \\ (x^2 -2x+1-1)(x^2-2x+1-x-5) \geq 0\end{cases} => \begin{cases} (3*2^x- 1)(32-2^x) \geq 0 \\ (x^2 -2x)(x^2-3x-4) \geq 0\end{cases} =>$$ $$\begin{cases} (3*2^x- 1)(2^x-32) \leq 0 \\ x(x -2)(x-4)(x+1) \geq 0\end{cases} => \begin{cases}  (x+\log_23)*(x-5)  \leq 0 \\ x(x -2)(x-4)(x+1) \geq 0\end{cases} =>$$ $$\begin{cases}x \in [-\log_23;5] \\ x \in (-\infty;-1] \cup [0;2] \cup [4;+\infty)\end{cases} =>  x \in [-\log_23;-1] \cup [0;2] \cup [4;5]$$ Из ОДЗ учтем, что $x \ne 0; x \ne 1; x \ne 2; x \ne 5$, получим $x \in [-\log_23;-1] \cup (0;1) \cup (1;2) \cup [4;5)$