Завдання: Основою прямої призми \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) є ромб \(ABCD\), у якому більша діагональ \(AC = 17 cm\). Об'єм призми дорівнює \(V =1020 cm^3 \). Через діагональ \(AC\) та вершину \(B_1\) тупого кута верхньої основи призми проведено площину, яка утворює з площиною основи призми кут \(\alpha\). Знайдіть площу утвореного перерізу призми (у \(cm^2\)), якщо \(\mbox{tg}\alpha = 2,4\)
Рішення: нарисуем рисунок
Вспомним основные формулы, которые нам понадобятся
- Объем прямой призмы равен \(V = S*H\), где \(S \) - площадь основания, \( H\) -высота, опущенная с верхнего основания на нижнее. Т.к. призма прямая, то \( H = AA_1=BB_1=CC_1=DD_1\).
- Площадь основания. Основанием призмы является ромб. В условии задачи дана длина одной диагонали ромба, поэтому попробуем использовать формулу площади ромба от двух ее диагоналей \(S_{ABCD} = \frac{AC*BD}{2}\).
- В сечении мы получили треугольник, площадь треугольника равна \(S_{Δ}= \frac{1}{2}a*h\), где \(a\) - известна диагональ ромба \(AC\), а \(h = B_1O\).
Таким образом объем можно выразить как $$V = S*h = \frac{AC*BD}{2} *H$$
Найдем \(H\).Рассмотрим \( Δ BB_1O\). В этом треугольнике у нас известен \(\mbox{tg}\alpha = 2,4\), при этом $$\mbox{tg}\alpha = \frac{BB_1}{BO} = \frac{BB_1}{\frac{BD}{2}} = 2\frac{BB_1}{BD} => $$$$BB_1 = \frac{1}{2}BD\mbox{tg}\alpha\ = \frac{1}{2}BD*\frac{12}{5} = \frac{6}{5}BD => H=BB_1=\frac{6}{5}BD$$подставим полученное значение в объем $$V =\frac{AC*BD}{2} *H = \frac{AC*BD}{2}*\frac{6}{5}BD$$Таким образом мы получили формулу объема, зависящую от одной неизвестной \(BD\), найдем ее $$V=\frac{AC*BD}{2}*\frac{6}{5}BD=1020 =>\frac{3}{5}*17*BD^2=1020=>BD^2=100 =>BD = 10$$Теперь опять вернемся в \( Δ BB_1O\) мы уже получили формулу для \(H=BB_1=\frac{6}{5}BD = \frac{6}{5}*10=12\). Из того же треугольника по теореме Пифагора находим \( h = B_1O = \sqrt{BB_1^2+BO^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13\). Все что нужно для нахождения площади сечения \(Δ AB_1C \) есть, найдем ее $$S_{AB_1C} = \frac{1}{2}AC*B_1O= \frac{1}{2}*17*13 =110,5$$
Відповідь: 110,5
