Решил написать решение своей домашней работы. Может еще кому то понадобиться.
Найти интеграл Ньютона-Лейбница от рациональных функций $$f(t) = \frac{1}{(t^2+1)*(t^2+4)}$$
Обратим внимание на то что отняв второй множитель в знаменателе от первого, то мы получим 3, по этому переписываем наш интеграл в следующем виде:
$$\int_{}^{}\frac{1}{3}*(\frac{1}{(t^2+4)}-\frac{1}{(t^2+1)})=\frac{1}{3}*\int_{}^{}(\frac{1}{(t^2+4)}-\frac{1}{(t^2+1)})=$$
А далее приводим интегралы к табличным:
$$=\frac{1}{3}*\int_{}^{}(\frac{1}{4}*(\frac{1}{(\frac{t}{2})^2+1}-\frac{1}{(t^2+1)})=$$
И используя замену находим интеграл:
$$=\begin{cases}u =\frac{t}{2} \\du = \frac{1}{2}dt\end{cases}=\frac{1}{3}*(\frac{1}{4}*\int_{}^{} \frac{1}{u^2+1}*2du-\int_{}^{} \frac{1}{t^2+1})=$$$$=\frac{1}{3}*\frac{1}{4}*2*\arctan(\frac{t}{2})-\frac{1}{3}\arctan(t)+C=\frac{1}{6}*\arctan(\frac{t}{2})-\frac{1}{3}\arctan(t)+C$$
Ответ:
$$\frac{1}{6}*\arctan(\frac{t}{2})-\frac{1}{3}\arctan(t)+C$$
