2. Рассмотрим метод универсальной тригонометрической подстановки (подстановка Вейерштрасса), применяется в интегрировании для нахождения первообразных, определённых и неопределённых интегралов от рациональных функций от тригонометрических функций. Подстановка использует тангенс половинного угла. При решении задачи применяется замена \(\sin x, \cos x\) и дифференциал \(dx\) рациональными функциями от переменной \(t\), и их произведением дифференциала \(dt\), следующим образом:$$t = \mbox{tan} \frac{x}{2} => x = 2\arctan{t} => dx = \frac{2dt}{1+t^2}$$$$\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}$$$$\cos x = \frac{1-t^2}{1 + t^2}$$$$dx = 2\frac{dt}{1 + t^2}$$для значений \(x \cup (-\pi;\pi)\)
Пример 1: \( \int \frac{\sin^2t\cos t}{\sin^4t-\sin^2t} \, dt\). Проведем преобразования и применим универсальную тригонометрическую подстановку.
$$ \int \frac{\sin^2t\cos t}{\sin^4t-\sin^2t}\, dt = \int \frac{\cos t}{\sin^2t-1}\, dt =- \int \frac{\cos t}{\cos^2t}\, dt =- \int \frac{1}{\cos t}\, dt $$применим универсальную тригонометрическую подстановку $$- \int \frac{1}{\cos t}\, dt = -\int \frac{1}{\frac{1-x^2}{1+x^2}} \frac{2}{1+x^2} \, dt =$$$$= -\int \frac{2}{1-x^2} \, dt = \int \frac{2}{x^2-1} \, dt= 2*\frac{1}{2}\ln|\frac{x-1}{x+1}| +C $$проведем обратную замену $$\ln|\frac{(x-1)}{(x+1)}| +C = \ln|\frac{\mbox{tg}\frac{t}{2}-1}{\mbox{tg}\frac{t}{2} + 1}| +C = \ln|\frac{\sin\frac{t}{2}-\cos\frac{t}{2}}{\sin\frac{t}{2}+\cos\frac{t}{2}}| +C = $$$$ =\ln|\frac{\sin^2\frac{t}{2}-\cos^2\frac{t}{2}}{\sin^2\frac{t}{2}+\cos^2\frac{t}{2}+2\sin^2\frac{t}{2}\cos^2\frac{t}{2}}| +C = \ln|\frac{\cos t}{1+\sin t}| +C$$Ответ: \( \int \frac{\sin^2t\cos t}{\sin^4t-\sin^2t} \, dt = \ln|\frac{\cos t}{1+\sin t}| +C\)
Пример 2: \( \int \frac{1}{\sin t(2 + \cos t - 2\sin t)} \, dt\). Применим универсальную тригонометрическую подстановку.
$$ \int \frac{1}{\sin t(2 + \cos t - 2\sin t)} \, dt = \int \frac{1}{\frac{2x}{1+x^2}*(2 + \frac{1-x^2}{1 + x^2} - 2*\frac{2x}{1 + x^2})})*\frac{2}{1 + x^2}dx = $$$$ = \int \frac{1 +x^2}{x(2 + 2x^2+ 1 - x^2 - 4x)})dx = \int \frac{1 +x^2}{x(2 + 2x^2+ 1 - x^2 - 4x)} \,dx = $$$$ = \int \frac{1 +x^2}{x(x^2 - 4x + 3)} \,dx = \int \frac{1 +x^2}{x(x-3)(x-1)} \, dx$$ Вычислим интеграл, применяя метод неопределенных коэффициентов. Имеем $$ \frac{1 + x^2}{x(x-3)(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-3} + \frac{C}{x-1}$$Неизвестные \( A, B, C\) определяются из тождества $$1 + x^2 = A(x-3)(x-1) + Bx(x-1) + Cx(x-3)$$$$\begin{cases}x^2 | A + B + C = 1 \\ x^1 | -4A -B -3C = 0 \\ x^0 | 3A = 1 =>A \\ \end{cases}=> \begin{cases}A + B + C = 1 \\ -3A -2C = 1 \\ A = \frac{1}{3}\end{cases}=>\begin{cases} B = \frac{5}{3} \\ C = -1 \\ A = \frac{1}{3}\end{cases}$$ подставим найденные коэффициенты в разложение и интегрируя его, получим $$ \frac{1 + x^2}{x(x-3)(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-3} + \frac{C}{x-1} = \frac{1}{3x} + \frac{5}{3(x-3)} - \frac{1}{x-1} $$$$\int \frac{1 +x^2}{x(x^2 - 4x + 3)} \,dx = \int \frac{1 +x^2}{x(x-3)(x-1)} \, dx = $$$$ = \int \frac{1}{3x} \,dx + \int \frac{5}{3(x-3)} \,dx - \int \frac{1}{x-1} \,dx = \frac{1}{3} \ln |x| + \frac{5}{3} \ln |x-3| - \ln | x-1 | + C = $$сделаем обратную подстановку \( x = \mbox{tg} \frac{t}{2} \)$$= \frac{1}{3} \ln |\mbox{tg} \frac{t}{2}| + \frac{5}{3} \ln |\mbox{tg} \frac{t}{2}-3| - \ln |\mbox{tg} \frac{t}{2}-1 | + C$$
Пример 3: \( \int \frac{2-\sin t}{2+\cos t} \, dt\). Применим универсальную тригонометрическую подстановку.
$$\int \frac{2-\sin t}{2+\cos t} \, dx = \int \frac{2-\frac{2x}{1 + x^2}}{2+\frac{1 - x^2}{1+x^2}} *\frac{2}{1+x^2} \,dx =$$$$ = \int \frac{2 + 2x^2 -2x}{2 + 2x^2 +1 - x^2} *\frac{2}{1+x^2} \,dx = \int 2 \frac{x^2 -x +1}{ x^2 +3 } *\frac{2}{1+x^2} \,dx =$$$$= \int 4 \frac{x^2 -x +1}{ x^4 + 4x^2 +3 } \,dx = 4 \int \frac{x^2 -x + 1}{( x^2 + 3)(x^2 + 1) } \,dx $$ Вычислим интеграл, применяя метод неопределенных коэффициентов. Имеем $$\frac{x^2 -x + 1}{( x^2 + 3)(x^2 + 1) } = \frac{Ax+B}{ x^2 + 3} + \frac{Cx+D}{x^2 + 1}$$ Неизвестные \( A, B, C, D\) определяются из тождества $$x^2 -x + 1 \equiv (Ax+B)(x^2 + 1) + (Cx+D)(x^2 + 3)$$$$\begin{cases}x^3 | A + C = 0 \\ x^2 | B + D = 1 \\ x^1| A + 3C = -1 \\ x^0 | B + 3D =1 \end{cases}=> \begin{cases}A = \frac{1}{2} \\ B = 1 \\ C = - \frac{1}{2} \\ D = 0\end{cases}$$$$4 \int \frac{x^2 -x + 1}{( x^2 + 3)(x^2 + 1) } \,dx = 4 ( \int \frac{1}{2}\frac{x+2}{ x^2 + 3} \, dx - \int \frac{1}{2}\frac{x}{x^2 + 1} \, dx) =$$$$ = 2 (\int \frac{x}{ x^2 + 3}+\frac{2}{ x^2 + 3} \, dx) - \int 2\frac{x}{x^2 + 1} \, dx = 2 \int \frac{x}{ x^2 + 3} \, dx+ 4 \int \frac{1}{ x^2 + 3} \, dx -2 \int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx =$$найдем каждый интеграл отдельно $$2 \int \frac{x}{ x^2 + 3} \, dx$$найдем интеграл, используя метод замены \( x^2 +3 = u => 2xdx = du =>xdx = \frac{du}{2} \)$$2 \int \frac{x}{ x^2 + 3} \, dx = 2\int \frac{1}{2}\frac{du}{u} = \ln |u| = \ln |x^2 +3| $$$$4 \int \frac{1}{ x^2 + 3} \, dx = \frac{4}{\sqrt 3}\arctan{\frac{x}{\sqrt 3}}$$$$-2 \int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx$$найдем интеграл, используя метод замены \( x^2 +1 = u => 2xdx = du => xdx = \frac{du}{2} \)$$ -2 \int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx = -2 \int \frac{1}{2}\frac{du}{u} = -\ln |x^2+1|$$итого мы получили $$ \int \frac{x^2 -x + 1}{( x^2 + 3)(x^2 + 1) } \, dx = \ln |x^2 +3| + \frac{4}{\sqrt 3}\arctan{\frac{x}{\sqrt 3}} -\ln |x^2+1| = $$$$ = \frac{4}{\sqrt 3}\arctan{\frac{x}{\sqrt 3}} + \ln |\frac{x^2 +3}{x^2+1}| $$сделаем обратную подстановку \( x = \mbox{tg} \frac{t}{2} \) $$ =\frac{4}{\sqrt 3}\arctan{\frac{\mbox{tg}\frac{t}{2}}{\sqrt 3}} + \ln |\frac{\mbox{tg}^2\frac{t}{2} +3}{\mbox{tg}^2\frac{t}{2}+1}| = \frac{4}{\sqrt 3}\arctan{\frac{\mbox{tg}\frac{t}{2}}{\sqrt 3}} + \ln |\frac{\sin^2\frac{t}{2} +3\cos^2\frac{t}{2}}{\sin^2\frac{t}{2}+\cos^2\frac{t}{2}}| =$$$$ = \frac{4}{\sqrt 3}\arctan{\frac{\mbox{tg}\frac{t}{2}}{\sqrt 3}} + \ln |\frac{\sin^2\frac{t}{2} +3\cos^2\frac{t}{2}}{\sin^2\frac{t}{2}+\cos^2\frac{t}{2}}| = \frac{4}{\sqrt 3}\arctan{\frac{\mbox{tg}\frac{t}{2}}{\sqrt 3}} + \ln |\sin^2\frac{t}{2} +3\cos^2\frac{t}{2}| =$$$$ = \frac{4}{\sqrt 3}\arctan{\frac{\mbox{tg}\frac{t}{2}}{\sqrt 3}} + \ln | 2 +\cos^2\frac{t}{2} - \sin^2\frac{t}{2}| = \frac{4}{\sqrt 3}\arctan{\frac{\mbox{tg}\frac{t}{2}}{\sqrt 3}} + \ln | 2 +\cos{t}|$$Ответ: \( \int \frac{2-\sin t}{2+\cos t} \, dt = \frac{4}{\sqrt 3}\arctan{\frac{\mbox{tg}\frac{t}{2}}{\sqrt 3}} + \ln | 2 +\cos{t}| \)
